INICIOTeorema de la probabilidad total
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de n sucesos A1, A2, A3, ..., An de sucesos que cumplen:
- Son incompatibles dos a dos:
- La unión de todos ellos es el suceso seguro, el espacio muestral :
Teorema de la probabilidad total
En un sistema completo de sucesos.
Sea B un suceso cualquiera asociado al experimento aleatorio, la probabilidad del suceso B del que se conocen las probabilidades condicionales P ( B / Ai ), P(B) se calcula como:
Ejemplo 1:
Una multinacional elabora sus piezas en 3 factorías. El porcentaje de piezas defectuosas
y el total de producción de cada factoría viene en la siguiente tabla:
| F1 | F2 | F3 | |
|---|---|---|---|
| Producción | 40% | 35% | 25% |
| Defectuosas | 2% | 3% | 1% |
Halla la probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa.
Ejemplo 2:
Tenemos tres urnas distintas: U1 con 5 bolas rojas y 3 azules, U2 con 3 bolas rojas y
2 azules y U3 con 2 bolas rojas y 4 azules.Escogemos una urna al azar y extraemos
una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
Sean los sucesos R = {Sacar bola roja} y A = {Sacar bola azul}. En el diagrama de árbol
podemos ver las distintas probabilidades de que ocurran R o A para cada una de las 3 urnas.
Ejemplo 3:
Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la
urna una bola roja y, si sale cruz, se introduce una bola verde. El experimento se repite
3 veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es
la probabilidad de que en la urna queden una bola roja y otra verde?
Sean los sucesos R = { Obtener bola roja} y V = { Obtener bola verde}. En el diagrama de árbol
vemos las distintas configuraciones posibles de las urnas y la probabilidad de cada una.
Según el teorema de la probabilidad total:
