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Problemas resueltos de probabilidad simple y compuesta.

1)    Las caras de un dado homogéneo están numeradas del 1 al 6. Hallar la probabilidad de que al lanzar el dado la suma de los números de las caras visibles sea múltiplo de 5.

2)    Una urna contiene 100 bolas numeradas de la siguiente forma: 00, 01, 02, ... , 99. Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad de que los dos números que aparecen en la bola sean impares.

3)    Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Los puntos obtenidos sumen 7.

4)    Se tiran dos dados. Sea E el suceso de que la suma de los puntos obtenidos sea impar. Sea F el suceso de que por lo menos uno de los dados muestre un 1.
Calcular P(E ∩ F) y P(E ∪ F).

5)    En una estantería hay 4 libros de Matemáticas, 6 de Física y 2 de Química. Si se cogen 2 libros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean de la misma asignatura?

6)    En una rifa hay 100 números y hemos comprado 2. Contestar razonadamente a las siguientes preguntas :
    1) Si en la rifa hay un sólo premio, ¿qué probabilidad tenemos de conseguirlo?
    2) Si en la rifa hay dos premios:
      a) ¿qué probabilidad tenemos de conseguir los dos?
      b) ¿qué probabilidad tenemos de conseguir al menos un premio?

7)    Se lanza un dado dos veces. Hallar la probabilidad:
a) De que primero salga un cuatro y luego no.
b) De que se obtenga por lo menos un dos.

8)    Justifica cuando es o no cierta esta propiedad: "La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es la suma de las probabilidades de A y de B".
Si extraes una carta de una baraja de 40 cartas y consideras los sucesos A = obtener oros y B = obtener rey, calcula las probabilidades de A, B y de A ∪ B, comprobando si se verifica o no la propiedad precedente.

9)    Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10 . Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

10)    Se elige al azar un número entre el 10.000 y el 50.000, éstos incluidos. Calcular la probabilidad que el número extraido sea capicúa.

11)    Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

12)    Tenemos cinco pares distintos de guantes. Entremezclamos bien los diez guantes. Elegimos dos de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos formen pareja?

13)    La probabilidad de acertar a un blanco de tres tiradores A, B y C son, respectivamente: 1/6, 1/4 y 1/3 . Si cada uno de ellos dispara una sola vez al blanco, calcular:
a) La probabilidad de que acierte uno solo
b) La probabilidad de que al menos uno acierte.

14)    Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de 3 al azar, hallar la probabilidad de:
a) Seleccionar tres niños.
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c) Seleccionar por lo menos un niño.
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

15)     De una baraja española de 48 cartas ( se incluyen el 8 y el 9 de cada palo ) se extraen simultáneamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que:
a) Las dos sean copas.
b) Al menos una sea copas.
c) Una sea copas y la otra espadas.

16)    María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado. Si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es  7,  gana María; y en cualquier otro caso hay empate.
a) Calcule la probabilidad de que gane Laura, asociado al experimento.
b) Probabilidad de que gane María.

17)    Se ha comprobado que el 48 % de los alumnos de COU de cierta región son aficionados a la música clásica y a la pintura, y que el 60 % de los aficionados a la pintura, también son aficionados a la música clásica. Si elegimos al azar a un alumno de COU de esa región, ¿qué probabilidades hay de que no sea aficionado a la pintura? Justifica tu repsuesta.

18)   En un curso de bachillerato hay 120 alumnos. 50 estudian Francés, 80 Química y 20 estudian Francés y Química. Se elige en ese curso un estudiante al azar, ¿qué probabilidad hay de que no estudie ninguna de las dos asignaturas? . Si se sabe que el alumno elegido estudia Francés, ¿qué probabilidad hay de que también estudie Química?

19)    Un estudiante se presenta a un examen tipo test compuesto de cien preguntas, cada una de las cuales va acompañada de cuatro respuestas (siendo sólo una correcta).
Sesenta de las preguntas corresponden al temario que el alumno ha estudiado y en las que tiene una probabilidad del  85 %  de contestar correctamente. En el resto de preguntas contestará al azar. Elegida una pregunta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta sea correcta?

20)    Tres cajas idénticas contienen cada una dos fichas. En una, las fichas son blancas; en otra, de color rojo, y en la tercera, una roja y otra blanca. Se extrae una ficha, que resulta ser blanca.
¿Cuál es la probabilidad de que la otra ficha que queda en la caja escogida sea también blanca?

1)   Las caras de un dado homogéneo están numeradas del 1 al 6. Hallar la probabilidad de que al lanzar el dado la suma de los números de las caras visibles sea múltiplo de 5.

El número de casos posibles es 6.
Al ser el dado homogéneo, todos los resultados son equiproables, podemos por tanto, emplear la fórmula de Laplace para calcular la probabilidad pedida.
La suma de las caras de los seis números será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, por tanto para que la suma de los números de las caras visibles sea múltiplo de 5 la cara oculta ha de ser 1 (las caras visibles sumarían 20) o 6 (las caras visibles sumarían 15). Por tanto los casos favorables al suceso serían 2.

2)   Una urna contiene 100 bolas numeradas de la siguiente forma: 00, 01, 02, ... , 99. Se saca una bola al azar. Calcular la probabilidad de que los dos números que aparecen en la bola sean impares.

Los casos posibles son 100.
Para hallar los casos favorables : los números de cifras impares serán de la forma ab, donde tanto a como b pertenecen al conjunto {1, 3, 5, 7, 9}. Cada uno de los 5 valores que puede tomar a se combina con cada uno de los 5 valores que puede tomar b, así forman 5 · 5 = 25 números con cifras impares o bien variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2 es decir
VR5, 2= 52 = 25,       de la forma:         A = { 11, 13, 15, 17, ..., 99}
Como todos los resultados son equiprobables usamos la regla de Laplace:

3)   Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:
a) Salga 6 en todos.
b) Los puntos obtenidos sumen 7.

a) Supongamos que los dados están nombrados de manera: dado 1, dado 2 y dado 3. Sea el suceso Ai el suceso "sale 6 en el dado numerado con i".
Por ser independientes dos a dos los sucesos A1, A2 y A3:

b) Simbolizando (a, b, c) el suceso "sale a en el dado 1, b en el dado 2 y c en el dado 3", si los puntos obtenidos suman 7 tendremos:

B = {(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 2), (1, 5, 1), (2, 1, 4), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 4, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 2), (3, 3, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1), (5, 1, 1)}
Los casos favorables a B son 15. Los resultados posibles al lanzar los tres dados es 6 · 6 · 6 = 216, también se puede calcular como VR6, 3 =6 · 6 · 6 = 216 ya que las 6 caras del primero se combinan con las 6 del segundo y éstos con las 6 del tercero.

4)   Se tiran dos dados. Sea E el suceso de que la suma de los puntos obtenidos sea impar. Sea F el suceso de que por lo menos uno de los dados muestre un 1.
Calcular P(E ∩ F) y P(E ∪ F).

El suceso E = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}

el suceso F = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)}

E ∩ F = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}

E ∪ F = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5), (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (5, 1)}

Los casos posibles serían 6 caras del primer dado se combinan con las 6 caras del segundo: 6·6 = 36.

5)   En una estantería hay 4 libros de Matemáticas, 6 de Física y 2 de Química. Si se cogen 2 libros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean de la misma asignatura?

Llamaremos a los sucesos :
M (1 libro de Matemáticas) , A(2 libros de Matemáticas)
F (1 libro de Física) , B(2 libros de Física)
Q (1 libro de Química) , C(2 libros de Química)
Los sucesos M, F y Q son incompatibles dos a dos:

6)   En una rifa hay 100 números y hemos comprado 2. Contestar razonadamente a las siguientes preguntas :
    1) Si en la rifa hay un sólo premio, ¿qué probabilidad tenemos de conseguirlo?
    2) Si en la rifa hay dos premios:
      a) ¿qué probabilidad tenemos de conseguir los dos?
      b) ¿qué probabilidad tenemos de conseguir al menos un premio?

1) Casos posibles : 100
Casos favorables : 2, el premio puede corresponder a cualquiera de los dos números que hemos comprado.

2) Casos posibles: como el orden no interviene

    a) Casos favorables: Hay una sola manera de sacar simultáneamente los dos números:

    b) El suceso "conseguir al menos un premio", es el suceso contrario de "no conseguir ningún premio" .
Los casos favorables a "no conseguir ningún premio" son:

Y la probabilidad de no conseguir ningún premio es:

7)   Se lanza un dado dos veces. Hallar la probabilidad:
a) De que primero salga un cuatro y luego no.
b) De que se obtenga por lo menos un dos.

El espacio muestral tiene 6·6 = 36 sucesos elementales, equiprobables:
a) El suceso A "sale primero cuatro y luego no" es :

A = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6)}

b) El suceso B "sale por lo menos un dos" es:

B = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}

8)   Justifica cuando es o no cierta esta propiedad: "La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es la suma de las probabilidades de A y de B".
Si extraes una carta de una baraja de 40 cartas y consideras los sucesos A = obtener oros y B = obtener rey, calcula las probabilidades de A, B y de A ∪ B, comprobando si se verifica o no la propiedad precedente.

Si dos sucesos A y B son compatibles se cumple : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Si dos sucesos A y B son incompatibles se cumple : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

9)   Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10 . Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

10)   Se elige al azar un número entre el 10 000 y el 50 000, éstos incluidos. Calcular la probabilidad que el número extraido sea capicúa.

Cualquier número capicúa entre 10 000 y 50 000 tendrá la forma : abcba .
a puede tomar valores 1, 2, 3 y 4
b y c pueden tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9.
Habrá 4 · 10 · 10 = 400 números capicúas entre 10 000 y 50 000

11)   Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Sea N el suceso "los dos temas extraidos son de los 10 que no ha estudiado el alumno", y S el suceso "el alumno ha estudiado alguno de los dos temas extraidos". Los sucesos S y N son contrarios.
Casos posibles: Serán las distintas formas de sacar 2 temas entre los 25, el orden no interviene:

12)   Tenemos cinco pares distintos de guantes. Entremezclamos bien los diez guantes. Elegimos dos de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos formen pareja?

Como el orden no interviene (un guante puede servir para la mano izquierda o para la derecha), los distintos grupos de dos guantes que se pueden formar con los 10 guantes es:

13)   La probabilidad de acertar a un blanco de tres tiradores A, B y C son, respectivamente: 1/6, 1/4 y 1/3 . Si cada uno de ellos dispara una sola vez al blanco, calcular:
a) La probabilidad de que acierte uno solo
b) La probabilidad de que al menos uno acierte.

14)   Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de 3 al azar, hallar la probabilidad de:
a) Seleccionar tres niños.
b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
c) Seleccionar por lo menos un niño.
d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Los casos posibles son las diferentes maneras de escoger 3 personas entre las 16 de la clase, considerando que dos maneras son diferentes cuando difieran en alguna persona, el orden no interviene :

15)   De una baraja española de 48 cartas ( se incluyen el 8 y el 9 de cada palo ) se extraen simultáneamente dos cartas. Calcular la probabilidad de que:
a) Las dos sean copas.
b) Al menos una sea copas.
c) Una sea copas y la otra espadas.

El número de casos posibles de sacar dos cartas de forma simultánea es el número de combinaciones ( ya que el orden no importa ) de 48 elementos tomados de dos en dos.

16)   María y Laura idean el siguiente juego: cada una lanza un dado. Si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es  7,  gana María; y en cualquier otro caso hay empate.
a) Calcule la probabilidad de que gane Laura, asociado al experimento.
b) Probabilidad de que gane María.

17)   Se ha comprobado que el 48 % de los alumnos de bachiller de cierta región son aficionados a la música clásica y a la pintura, y que el 60 % de los aficionados a la pintura, también son aficionados a la música clásica. Si elegimos al azar a un alumno de bachiller de esa región, ¿qué probabilidades hay de que no sea aficionado a la pintura? Justifica tu repsuesta.

Sea la figura adjunta, en que la unidad está enpresada en tantos por ciento.

18)   En un curso de bachillerato hay 120 alumnos. 50 estudian Francés, 80 Química y 20 estudian Francés y Química. Se elige en ese curso un estudiante al azar, ¿qué probabilidad hay de que no estudie ninguna de las dos asignaturas? . Si se sabe que el alumno elegido estudia Francés, ¿qué probabilidad hay de que también estudie Química?

19)    Un estudiante se presenta a un examen tipo test compuesto de cien preguntas, cada una de las cuales va acompañada de cuatro respuestas (siendo sólo una correcta).
Sesenta de las preguntas corresponden al temario que el alumno ha estudiado y en las que tiene una probabilidad del  85 %  de contestar correctamente. En el resto de preguntas contestará al azar. Elegida una pregunta al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta sea correcta?

La rpobabilidad de que el alumno acierte vendrá determinada por la suma de la probabilidad si es una pregunta que ha estudiado más la probabilidad de una pregunta contestada al azar.

20)    Tres cajas idénticas contienen cada una dos fichas. En una, las fichas son blancas; en otra, de color rojo, y en la tercera, una roja y otra blanca. Se extrae una ficha, que resulta ser blanca.
¿Cuál es la probabilidad de que la otra ficha que queda en la caja escogida sea también blanca?