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Ejercicios de representación de funciones racionales   II

Representa gráficamente la siguiente función:

funcion racional

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x2 - 1 = 0   ⇔   x2 = 1   ⇔   x = ±1

Dom(f) = R - {-1, 1}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion racional

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto corte funcion racional

        El punto de corte es:   (0, 0)

Simetrías

simetria funcion racional

Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

Hemos visto que existen valores reales que anulan al denominador, por tanto, la función tiene dos asíntotas verticales en   x = -1   y   x = 1 .

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion racional

asintota horizontal funcion racional

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

primera derivada funcion racional

Dicha ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto, la primera derivada no se anula para ningún valor real.Por lo tanto tenemos que estudiar los intervalos de continuidad:    (-∞ , -1) ,    (-1, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (-1 , 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) < 0 f ' (0) < 0 f ' (2) < 0
Signo de f ' (x) - - -
Monotonía Decrece Decrece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que no existen puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion racional

La segunda derivada se anula únicamente para   x = 0 . Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -1) ,    (-1, 0) ,    (0, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞, -1) (-1,0) (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f '' (-2) < 0 f '' (-0,5) > 0 f '' (0,5) < 0 f '' (2) > 0
Signo de f '' (x) - + - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0 .

En la tabla anterior hemos comprobado que la función tiene curvatura distinta antes y después de dicho punto (pasa de curvatura còncava a convexa), por lo que se confirma que es punto de inflexión.


grafica funcion racional

Representa gráficamente la función:  

funcion racional


Tipo de función

Función racional.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x2 - 4 = 0   ⇔   x2 = 4   ⇔   x = ±√4 = ±2

   •   Dom(f) = R - {-2, 2}

   •   Im(f) = R = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R - {-2, 2} ,  es decir, es discontinua en los puntos   x = -2   y   x = 2

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como el punto de corte con el eje OX es   x = 0   y además la función es discontinua en los puntos   x = -2    y   x = 2  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -2) ,   (-2, 0) ,   (-2, 0)   y   (0, +∞) :

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f(-3) < 0 f(-1) > 0 f(-1) < 0 f(3) > 0
Signo de f (x) - + - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion racional

Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen   O(0, 0) .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones racionales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador:

x2 - 4 = 0   ⇔   x2 = 4   ⇔   x = ±√4 = ±2   (estos valores no anulan al numerador)

Por lo tanto existen dos asíntotas verticales en   x = -2   y   x = 2

Para estudiar la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales estudiamos los límites laterales:

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional


   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion racional

asintota horizontal funcion racional

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

El numerador de la primera derivada no se anula para ningún valor, puesto que   x2 ≠ -4   para cualquier valor de   x .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad sin incluir ninguno más puesto que no hay ningún valor que anule a la derivada primera:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) < 0 f ' (-1) < 0 f ' (1) < 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) - - - -
Monotonía Decrece Decrece Decrece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que ningún valor anula a la primera derivada, por lo tanto la función no tiene puntos críticos. Es decir, la función no tiene máximos ni mínimos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion racional

segunda derivada funcion racional

La segunda derivada se anula para   x = 0   y   2x2 + 24 = 0

La segunda ecuación no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada solamente se anula para   x = 0 .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad incluyendo el valor que anula a la segunda derivada:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-3) < 0 f '' (-1) > 0 f '' (1) < 0 f '' (3) > 0
Signo de f '' (x) - + - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

tercera derivada funcion racional

Por lo tanto   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0, 0)


grafica funcion racional

Sea f la función definida para x ≠ 0 por:

selectividad estudio funcion

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de  f .
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de  f  y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de  f .

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:      x = 0

                  Dom(f) = R - {0}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte con los ejes

        La función no corta al eje OX.

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte con los ejes

        La función no corta al eje OY.

Simetrías

simetria par

simetria impar

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

En nuestro caso:    x = 0         (el numerador no se anula en dicho punto)

La función tiene una asíntota vertical en:      x = 0

Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical estudiamos los límites laterales:

asintota vertical

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como no tiene asíntota horizontal vamos a ver si tiene oblicua:

asintota oblicua

asintota oblicua

Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en:      y = x

Veamos la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua:

asintota oblicua

Cuando  x→-∞  la curva está por debajo de la asíntota oblicua.

asintota oblicua

Cuando  x→+∞  la curva está por encima de la asíntota oblicua.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia de una funcion

maximos y minimos funcion

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞ , -1) ,    (-1 , 0) ,    (0 , 1)   ,   (1 , +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (-1 , 0) (0 , 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) > 0 f ' (-1/2) < 0 f ' (1/2) < 0 f ' (2) > 0
Signo de f ' (x) + - - +
Monotonía Crece Decrece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = - 1    y    x = 1 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

maximos y minimos funcion

   •   f '' (-1) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -1   ⇒   f(-1) = - 2   ⇒   Max (-1, - 2)

   •   f '' (1) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 1   ⇒   f(1) = 2   ⇒   Min (1, 2)


Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

curvatura funcion

La segunda derivada no se anula en ningún punto.

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞, 0) ,    (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0 , +∞)
Punto de prueba f '' (-1) < 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Puntos de inflexión

En el apartado anterior hemos visto que la derivada segunda no se anula en ningún punto, por tanto, la función no tiene puntos de inflexión.


selectividad representa graficamente

Representa gráficamente la siguiente función:

funcion racional

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x2 - 3 = 0      ⇔      x = ± √3

Dom(f) = R - {± √3}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        Para demostrar que la función corta al eje OX utilizamos el teorema de Bolzano, ya que la ecuación     x3 + x2 - 2x - 3 = 0   no tiene raíces enteras:

       teorema bolzano

        Si ajustamos la solución, tenemos que   c≈1,54   ⇒   El punto de corte con el eje OX es   (1,54, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto corte funcion racional

        La función corta al eje OY en el punto:    (0 , 1)

Simetrías

simetrias de una funcion

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

x2 - 3 = 0      ⇔      x = ± √3

Como el numerador no se anula para estos valores, tenemos dos asíntotas verticales:   x = ± √3

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

   •   Asíntotas oblicuas

Como no tiene asíntota horizontal vamos a ver si tiene oblicua:

asintota oblicua funcion racional

asintota oblicua funcion racional

Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en:      y = x + 1


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

primera derivada funcion racional

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad, quitando además los puntos en los que se anula la derivada de la función:    (-∞ , -√6) ,    (-√6 , -√3) ,    (-√3, -1) ,     (-1, 1) ,    (1, √3)   ,   (√3 , √6)   y   (√6, +∞)

Intervalo (-∞ , -√6) (-√6 , -√3) (-√3, -1) (-1, 1) (1, √3) (√3 , √6) (√6, +∞)
Punto de prueba f ' (-4) > 0 f ' (-2) < 0 f ' (-1,5) < 0 f ' (0) > 0 f ' (1,5) < 0 f ' (2) < 0 f ' (4) > 0
Signo de f ' (x) + - - + - - +
Monotonía Crece Decrece Decrece Crece Decrece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

•   x = -√6 :   la función pasa de creciente a decreciente   ⇒   Máximo relativo   ⇒   Max (-√6, -2,26)

•   x = -1 :   la función pasa de decreciente a creciente   ⇒   Mínimo relativo   ⇒   Min (-1, 0,5)

•   x = +1 :   la función pasa de creciente a decreciente   ⇒   Máximo relativo   ⇒   Max (1, 1,5)

•   x = +√6 :   la función pasa de decreciente a creciente   ⇒   Mínimo relativo   ⇒   Min (√6, 4,26)


Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda deerivada funcion racional

segunda derivada funcion racional

Es decir, la segunda derivada se anula para:   x = 0

or lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -√3) ,    (-√3, 0) ,    (0, √3) ,   (√3, +∞)

Intervalo (-∞, -√3)  (-√3, 0) (0, √3) (√3, +∞)
Punto de prueba f '' (-2) < 0 f '' (-1) > 0 f '' (1) < 0 f '' (2) > 0
Signo de f '' (x) - + - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0 .

En la tabla anterior hemos comprobado que la función tiene curvatura distinta antes y después de dicho punto (pasa de curvatura cóncava a convexa), por lo que se confirma que es punto de inflexión.


grafica funcion racional

Representa gráficamente la siguiente función:

funcion racional

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio, es decir,   x = 0

Dom(f) = R - {0}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion racional

        Por lo tanto la función no corta al eje OX .

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        La función no está definida en   x = 0 ,  por lo tanto no corta tampoco al eje OY .

Simetrías

simetria funcion racional

Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador, es decir, la función tiene una asíntota vertical en   x = 0 .

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

asintota horizontal funcion racional

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.

   •   Asíntotas oblicuas

La función no tiene asíntotas oblicuas lineales puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Se puede comprobar facilmente al calcular el siguiente límite:

asintota oblicua funcion racional

Nuestra función se puede expresar de la siguiente forma:

rama parabolica funcion racional

rama parabolica funcion racional

rama parabolica funcion racional

Es decir, la función presenta dos ramas parabólicas   y = x2    cuando   x → -∞   y   x → +∞

Por lo tanto   y = x2   es una      rama parabólica       (el calculo de las ramas parabólicas no entra en selectividad).


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

primera derivada funcion racional

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguiente intervalos:    (-∞ , -1) ,    (-1, 0) ,    (0, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (-1 , 0) (0, 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) < 0 f ' (-0,5) > 0 f ' (0,5) < 0 f ' (2) > 0
Signo de f ' (x) - + - +
Monotonía Decrece Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son    x = -1   y   x = 1.  

   •   x = -1   ⇒   Hay un mínimo en   x = -1   ⇒   f(-1) = 2   ⇒   Min (-1, 2)

   •   x = 1   ⇒   Hay un mínimo en   x = 1   ⇒   f(1) = 2   ⇒   Min (1, 2)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion racional

La segunda derivada no se anula, por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0) ,    (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) > 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) + +
Curvatura Concava (∪) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que la segunda derivada no se anula, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.


grafica funcion racional

Representa gráficamente la siguiente función:

funcion racional

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio, es decir,   x = 0

Dom(f) = R - {0}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion racional

        Por lo tanto la función no corta al eje OX .

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        La función no está definida en   x = 0 ,  por lo tanto no corta tampoco al eje OY .

Simetrías

simetria funcion racional

Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador, es decir, la función tiene una asíntota vertical en   x = 0 .

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

asintota horizontal funcion racional

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar si la función tiene asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion racional

asintota oblicua funcion racional

La función presenta dos ramas parabólicas   y = x3    cuando   x → -∞   y   x → +∞

Por lo tanto   y = x3   es una rama parabólica  (el calculo de las ramas parabólicas no entra en selectividad).


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

primera derivada funcion racional

Por lo tanto, la primera derivada se anula para     x = -1   y   x = 1 . Por lo tanto tenemos que estudiar los intervalos de continuidad:    (-∞ , -1) ,    (-1, 0) ,    (0, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (-1 , 0) (0, 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) > 0 f ' (-0,5) < 0 f ' (0,5) < 0 f ' (2) > 0
Signo de f ' (x) + - - +
Monotonía Crece Decrece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = -1   y   x = 1.   Para saber si se trata de máximos o mínimos relativos tenemos que calcular la segunda derivada:

segunda derivada funcion racional

   •   f '' (-1) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -1   ⇒   f(-1) = - 4   ⇒   Max (-1, - 4)

   •   f '' (1) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 1   ⇒   f(1) = 4   ⇒   Min (1, 4)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion racional

La segunda derivada no se anula, por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0) ,    (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) < 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que la segunda derivada no se anula, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.


grafica funcion racional

Dada la siguiente función, se pide:

selectividad estudio de funciones

a) Dominio y corte con el eje OX.
b) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales.
c) Asíntotas horizontales y oblicuas.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
e) Representación gráfica aproximada teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores.

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x2 - 1 = 0      ⇔      x = ± 1

Dom(f) = R - {-1 , 1}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte eje OX

        La función al eje en los puntos:     (0 , 0)   ,   (1 , 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte eje OY

        La función corta al eje OY en el punto:    (0 , 0)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función f es continua en todos los puntos de la recta real, excepto en aquellos que anulen al denominador (x = -1 , x = 1). Es decir, es continua en todo su dominio.

Veamos que tipo de discontinuidad son  x = - 1 , x = 1  calculando sus límites laterales:

tipos de discontinuidad

tipos de discontinuidad

En  x = - 1  la función tiene una discontinuidad de salto infinito.

tipos de discontinuidad

En  x = 1  la función tiene una discontinuidad evitable.

Simetrías

simetrias de una funcion

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

x2 - 1 = 0      ⇔      x = ± 1

El numerador se anula para  x = 1 , por tanto, sólo nos quedamos con el punto  x = -1 .

La función tiene una asíntota vertical en:      x = - 1

Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical observamos los límites laterales cuando  x→ -1  que ya calculamos en un apartado anterior.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

calcular asintota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como no tiene asíntota horizontal vamos a ver si tiene oblicua:

asintota oblicua

asintota oblicua

Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en:      y = - x + 1

Veamos la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua:

asintota oblicua

Cuando  x→-∞  la curva está por encima de la asíntota oblicua.

asintota oblicua

Cuando  x→+∞  la curva está por debajo de la asíntota oblicua.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia de una funcion

 

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad, quitando además los puntos en los que se anula la derivada de la función:    (-∞ , -2) ,    (-2 , -1) ,    (-1 , 0)   ,   (0 , 1)   ,   (1 , +∞)

Intervalo (-∞ , -2) (-2 , -1) (-1 , 0) (0 , 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-3) < 0 f ' (-3/2) > 0 f ' (-1/2) > 0 f ' (1/2) < 0 f ' (2) < 0
Signo de f ' (x) - + + - -
Monotonía Decrece Crece Crece Decrece Decrece

maximos y minimos de una funcion

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = -2   ,   x = 0  y    x = 1 . Veamos a través de la tabla anterior si se tratan de puntos máximos o mínimos:

   •   En  x = ± 1   la función no existe, por lo que no es ni máximo ni mínimo.

   •   En   x = - 2   la función cambia de monotonía, es decir, pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo que es un mínimo relativo de la función.

         Si    x = - 2      ⇒      f(-2) = 4      ⇒      Min (2 , 4)

   •   En  x = 0  la función pasa de ser creciente a ser decreciente, por lo que es un máximo relativo de la función.

         Si   x = 0      ⇒      f(0) = 0      ⇒      (0 , 0)


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