Ejercicios de representación de funciones racionales II
SELECTIVIDAD
Representa gráficamente la siguiente función:
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:
x2 - 1 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1
Dom(f) = R - {-1, 1}
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, 0)
Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.
Hemos visto que existen valores reales que anulan al denominador, por tanto, la función tiene dos asíntotas verticales en x = -1 y x = 1 .
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Dicha ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto, la primera derivada no se anula para ningún valor real.Por lo tanto tenemos que estudiar los intervalos de continuidad: (-∞ , -1) , (-1, 1) , (1, +∞)
Intervalo | (-∞ , -1) | (-1 , 1) | (1 , +∞) |
---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-2) < 0 | f ' (0) < 0 | f ' (2) < 0 |
Signo de f ' (x) | - | - | - |
Monotonía | Decrece | Decrece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que no existen puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada se anula únicamente para x = 0 . Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -1) , (-1, 0) , (0, 1) , (1, +∞)
Intervalo | (-∞, -1) | (-1,0) | (0, 1) | (1, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-2) < 0 | f '' (-0,5) > 0 | f '' (0,5) < 0 | f '' (2) > 0 |
Signo de f '' (x) | - | + | - | + |
Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 0 .
En la tabla anterior hemos comprobado que la función tiene curvatura distinta antes y después de dicho punto (pasa de curvatura còncava a convexa), por lo que se confirma que es punto de inflexión.
Representa gráficamente la función:
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±√4 = ±2
• Dom(f) = R - {-2, 2}
• Im(f) = R = (-∞, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R - {-2, 2} , es decir, es discontinua en los puntos x = -2 y x = 2
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, 0)
Como el punto de corte con el eje OX es x = 0 y además la función es discontinua en los puntos x = -2 y x = 2 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -2) , (-2, 0) , (-2, 0) y (0, +∞) :
Intervalo | (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f(-3) < 0 | f(-1) > 0 | f(-1) < 0 | f(3) > 0 |
Signo de f (x) | - | + | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen O(0, 0) .
No es periódica porque las funciones racionales nunca lo son.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador:
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±√4 = ±2 (estos valores no anulan al numerador)
Por lo tanto existen dos asíntotas verticales en x = -2 y x = 2
Para estudiar la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales estudiamos los límites laterales:
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
El numerador de la primera derivada no se anula para ningún valor, puesto que x2 ≠ -4 para cualquier valor de x .
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad sin incluir ninguno más puesto que no hay ningún valor que anule a la derivada primera: (-∞, -2) , (-2, 0) , (0, 2) , (2, +∞)
Intervalo | (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-3) < 0 | f ' (-1) < 0 | f ' (1) < 0 | f ' (3) < 0 |
Signo de f ' (x) | - | - | - | - |
Monotonía | Decrece | Decrece | Decrece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que ningún valor anula a la primera derivada, por lo tanto la función no tiene puntos críticos. Es decir, la función no tiene máximos ni mínimos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada se anula para x = 0 y 2x2 + 24 = 0
La segunda ecuación no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada solamente se anula para x = 0 .
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad incluyendo el valor que anula a la segunda derivada: (-∞, -2) , (-2, 0) , (0, 2) , (2, +∞)
Intervalo | (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (0, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-3) < 0 | f '' (-1) > 0 | f '' (1) < 0 | f '' (3) > 0 |
Signo de f '' (x) | - | + | - | + |
Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 0 y vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.
Por lo tanto x = 0 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(0) = 0 ⇒ Punto inflexión (0, 0)
SELECTIVIDAD
Sea f la función definida para x ≠ 0 por:
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f .
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
c) Esboza la gráfica de f .
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio: x = 0
Dom(f) = R - {0}
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
La función no corta al eje OX.
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no corta al eje OY.
Por tanto la función no tiene simetría.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.
En nuestro caso: x = 0 (el numerador no se anula en dicho punto)
La función tiene una asíntota vertical en: x = 0
Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical estudiamos los límites laterales:
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Como no tiene asíntota horizontal vamos a ver si tiene oblicua:
Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en: y = x
Veamos la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua:
Cuando x→-∞ la curva está por debajo de la asíntota oblicua.
Cuando x→+∞ la curva está por encima de la asíntota oblicua.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad: (-∞ , -1) , (-1 , 0) , (0 , 1) , (1 , +∞)
Intervalo | (-∞ , -1) | (-1 , 0) | (0 , 1) | (1 , +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-2) > 0 | f ' (-1/2) < 0 | f ' (1/2) < 0 | f ' (2) > 0 |
Signo de f ' (x) | + | - | - | + |
Monotonía | Crece | Decrece | Decrece | Crece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = - 1 y x = 1 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
• f '' (-1) < 0 ⇒ Hay un máximo en x = -1 ⇒ f(-1) = - 2 ⇒ Max (-1, - 2)
• f '' (1) > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 1 ⇒ f(1) = 2 ⇒ Min (1, 2)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada no se anula en ningún punto.
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad: (-∞, 0) , (0, +∞)
Intervalo | (-∞, 0) | (0 , +∞) |
---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-1) < 0 | f '' (1) > 0 |
Signo de f '' (x) | - | + |
Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Puntos de inflexión
En el apartado anterior hemos visto que la derivada segunda no se anula en ningún punto, por tanto, la función no tiene puntos de inflexión.
Representa gráficamente la siguiente función:
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:
x2 - 3 = 0 ⇔ x = ± √3
Dom(f) = R - {± √3}
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
Para demostrar que la función corta al eje OX utilizamos el teorema de Bolzano, ya que la ecuación x3 + x2 - 2x - 3 = 0 no tiene raíces enteras:
Si ajustamos la solución, tenemos que c≈1,54 ⇒ El punto de corte con el eje OX es (1,54, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
La función corta al eje OY en el punto: (0 , 1)
Por tanto la función no tiene simetría.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.
x2 - 3 = 0 ⇔ x = ± √3
Como el numerador no se anula para estos valores, tenemos dos asíntotas verticales: x = ± √3
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Como no tiene asíntota horizontal vamos a ver si tiene oblicua:
Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en: y = x + 1
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad, quitando además los puntos en los que se anula la derivada de la función: (-∞ , -√6) , (-√6 , -√3) , (-√3, -1) , (-1, 1) , (1, √3) , (√3 , √6) y (√6, +∞)
Intervalo | (-∞ , -√6) | (-√6 , -√3) | (-√3, -1) | (-1, 1) | (1, √3) | (√3 , √6) | (√6, +∞) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-4) > 0 | f ' (-2) < 0 | f ' (-1,5) < 0 | f ' (0) > 0 | f ' (1,5) < 0 | f ' (2) < 0 | f ' (4) > 0 |
Signo de f ' (x) | + | - | - | + | - | - | + |
Monotonía | Crece | Decrece | Decrece | Crece | Decrece | Decrece | Crece |
• x = -√6 : la función pasa de creciente a decreciente ⇒ Máximo relativo ⇒ Max (-√6, -2,26)
• x = -1 : la función pasa de decreciente a creciente ⇒ Mínimo relativo ⇒ Min (-1, 0,5)
• x = +1 : la función pasa de creciente a decreciente ⇒ Máximo relativo ⇒ Max (1, 1,5)
• x = +√6 : la función pasa de decreciente a creciente ⇒ Mínimo relativo ⇒ Min (√6, 4,26)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Es decir, la segunda derivada se anula para: x = 0
or lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -√3) , (-√3, 0) , (0, √3) , (√3, +∞)
Intervalo | (-∞, -√3) | (-√3, 0) | (0, √3) | (√3, +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-2) < 0 | f '' (-1) > 0 | f '' (1) < 0 | f '' (2) > 0 |
Signo de f '' (x) | - | + | - | + |
Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 0 .
En la tabla anterior hemos comprobado que la función tiene curvatura distinta antes y después de dicho punto (pasa de curvatura cóncava a convexa), por lo que se confirma que es punto de inflexión.
Representa gráficamente la siguiente función:
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio, es decir, x = 0
Dom(f) = R - {0}
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
Por lo tanto la función no corta al eje OX .
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no está definida en x = 0 , por lo tanto no corta tampoco al eje OY .
Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador, es decir, la función tiene una asíntota vertical en x = 0 .
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.
La función no tiene asíntotas oblicuas lineales puesto que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Se puede comprobar facilmente al calcular el siguiente límite:
Nuestra función se puede expresar de la siguiente forma:
Es decir, la función presenta dos ramas parabólicas y = x2 cuando x → -∞ y x → +∞
Por lo tanto y = x2 es una rama parabólica (el calculo de las ramas parabólicas no entra en selectividad).
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguiente intervalos: (-∞ , -1) , (-1, 0) , (0, 1) , (1, +∞)
Intervalo | (-∞ , -1) | (-1 , 0) | (0, 1) | (1 , +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-2) < 0 | f ' (-0,5) > 0 | f ' (0,5) < 0 | f ' (2) > 0 |
Signo de f ' (x) | - | + | - | + |
Monotonía | Decrece | Crece | Decrece | Crece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = -1 y x = 1.
• x = -1 ⇒ Hay un mínimo en x = -1 ⇒ f(-1) = 2 ⇒ Min (-1, 2)
• x = 1 ⇒ Hay un mínimo en x = 1 ⇒ f(1) = 2 ⇒ Min (1, 2)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada no se anula, por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, +∞)
Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-1) > 0 | f '' (1) > 0 |
Signo de f '' (x) | + | + |
Curvatura | Concava (∪) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que la segunda derivada no se anula, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.
SELECTIVIDAD
Representa gráficamente la siguiente función:
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio, es decir, x = 0
Dom(f) = R - {0}
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
Por lo tanto la función no corta al eje OX .
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no está definida en x = 0 , por lo tanto no corta tampoco al eje OY .
Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador, es decir, la función tiene una asíntota vertical en x = 0 .
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.
Para hallar si la función tiene asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:
La función presenta dos ramas parabólicas y = x3 cuando x → -∞ y x → +∞
Por lo tanto y = x3 es una rama parabólica (el calculo de las ramas parabólicas no entra en selectividad).
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto, la primera derivada se anula para x = -1 y x = 1 . Por lo tanto tenemos que estudiar los intervalos de continuidad: (-∞ , -1) , (-1, 0) , (0, 1) , (1, +∞)
Intervalo | (-∞ , -1) | (-1 , 0) | (0, 1) | (1 , +∞) |
---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-2) > 0 | f ' (-0,5) < 0 | f ' (0,5) < 0 | f ' (2) > 0 |
Signo de f ' (x) | + | - | - | + |
Monotonía | Crece | Decrece | Decrece | Crece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = -1 y x = 1. Para saber si se trata de máximos o mínimos relativos tenemos que calcular la segunda derivada:
• f '' (-1) < 0 ⇒ Hay un máximo en x = -1 ⇒ f(-1) = - 4 ⇒ Max (-1, - 4)
• f '' (1) > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 1 ⇒ f(1) = 4 ⇒ Min (1, 4)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada no se anula, por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, +∞)
Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
---|---|---|
Punto de prueba | f '' (-1) < 0 | f '' (1) > 0 |
Signo de f '' (x) | - | + |
Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que la segunda derivada no se anula, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.
SELECTIVIDAD
Dada la siguiente función, se pide:
a) Dominio y corte con el eje OX.
b) Puntos de discontinuidad, tipos de discontinuidad y asíntotas verticales.
c) Asíntotas horizontales y oblicuas.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos.
e) Representación gráfica aproximada teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores.
Función racional.
Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:
x2 - 1 = 0 ⇔ x = ± 1
Dom(f) = R - {-1 , 1}
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
La función al eje en los puntos: (0 , 0) , (1 , 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
La función corta al eje OY en el punto: (0 , 0)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función f es continua en todos los puntos de la recta real, excepto en aquellos que anulen al denominador (x = -1 , x = 1). Es decir, es continua en todo su dominio.
Veamos que tipo de discontinuidad son x = - 1 , x = 1 calculando sus límites laterales:
En x = - 1 la función tiene una discontinuidad de salto infinito.
En x = 1 la función tiene una discontinuidad evitable.
Por tanto la función no tiene simetría.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.
x2 - 1 = 0 ⇔ x = ± 1
El numerador se anula para x = 1 , por tanto, sólo nos quedamos con el punto x = -1 .
La función tiene una asíntota vertical en: x = - 1
Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical observamos los límites laterales cuando x→ -1 que ya calculamos en un apartado anterior.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Como no tiene asíntota horizontal vamos a ver si tiene oblicua:
Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en: y = - x + 1
Veamos la posición relativa de la curva respecto de la asíntota oblicua:
Cuando x→-∞ la curva está por encima de la asíntota oblicua.
Cuando x→+∞ la curva está por debajo de la asíntota oblicua.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad, quitando además los puntos en los que se anula la derivada de la función: (-∞ , -2) , (-2 , -1) , (-1 , 0) , (0 , 1) , (1 , +∞)
Intervalo | (-∞ , -2) | (-2 , -1) | (-1 , 0) | (0 , 1) | (1 , +∞) |
---|---|---|---|---|---|
Punto de prueba | f ' (-3) < 0 | f ' (-3/2) > 0 | f ' (-1/2) > 0 | f ' (1/2) < 0 | f ' (2) < 0 |
Signo de f ' (x) | - | + | + | - | - |
Monotonía | Decrece | Crece | Crece | Decrece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = -2 , x = 0 y x = 1 . Veamos a través de la tabla anterior si se tratan de puntos máximos o mínimos:
• En x = ± 1 la función no existe, por lo que no es ni máximo ni mínimo.
• En x = - 2 la función cambia de monotonía, es decir, pasa de ser decreciente a ser creciente, por lo que es un mínimo relativo de la función.
Si x = - 2 ⇒ f(-2) = 4 ⇒ Min (2 , 4)
• En x = 0 la función pasa de ser creciente a ser decreciente, por lo que es un máximo relativo de la función.
Si x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ (0 , 0)