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Ejercicios de representación de funciones a trozos

Sea la función:

         funcion a trozos

a) Representar gráficamente   f(x)
b) A partir de su gráfica, estudiar el crecimiento de   f(x)
c) Hallar los puntos de corte con los ejes


•   Estudio en el intervalo   (-∞, 0) :


puntos de corte

primera derivada

Para ver si en   x = -1   hay un máximo o un mínimo relativo, vemos el signo de la primera derivada:

segunda derivada

curvatura


•   Estudio en el intervalo   (0, 1) :


limites laterales

primera derivada

curvatura


•   Estudio en el intervalo   (1, +∞) :


puntos de corte

primera derivada

curvatura


a)    Una vez estudiados los distintos trozos de la función, podemos dibujar la gráfica:

grafica funcion a trozos

De la gráfica se puede deducir:

b)    f(x)   es creciente en   (-1, 0) ∪ (1, +∞)   y   decreciente en   (-∞, -1) ∪ (0, 1)

c)    Los puntos de corte con los ejes son:   (-2, 0) ,   (0, 0) ,  (1, 0)

Sea la función:

         funcion a trozos

a) Representar gráficamente   f(x)
b) Estudiar la continuidad y el crecimiento de   f(x)
c) Determinar   f-1(1)
d) Obtener la gráfica de   | f(x) |


a)   Representar gráficamente   f(x)

•   En el intervalo   [-8, -4)   la gráfica corresponde con la recta    y = -1 .

•   En el intervalo   [-4, 2)   la función es la recta   y = x + 2 .

      y ' = 1 > 0   ⇒   la gráfica es creciente en dicho intervalo.

•   Estudiemos el comportamiento de la función en el intervalo   [2, +∞) :

     primera derivada

     asintota horizontal

De esta forma podemos representar la gráfica de la función   f(x) :

grafica funcion a trozos


b)   Estudiar la continuidad y el crecimiento de   f(x)

La función es continua en cada trozo, por lo que vamos a estudiar la continuidad en los puntos de unión:   x = -4   y   x = 2

•   x = -4

continuidad

•   x = 2

continuidad

Por lo tanto,   f(x)   es continua en todo su dominio menos en   x = -4

Además, observando la gráfica se deduce que la función es constante en el intervalo   [-8, -4) ,   creciente en el intervalo   ([-4, 2)   y decreciente en el intervalo   [2, +∞)


c)   Determinar   f-1(1)

Si en la gráfica trazamos la recta   y = 1   observamos que corta a la función en dos intervalos:

•   [-4, 2) :     x + 2 = 1     ⇒     x = - 1

•   [2, +∞) :     8/x = 1     ⇒     x = 8

Por lo tanto, tenemos que:   f-1(1) = {-1, 8}


d)   Obtener la gráfica de   | f(x) |

funcion valor absoluto

Estudiamos por separado cada una de las ramas de la función   f(x) :

funcion valor absoluto

funcion valor absoluto

funcion valor absoluto

funcion valor absoluto

Por lo tanto la función   | f(x) |   queda definida de la siguiente manera:

funcion valor absoluto

grafica funcion valor absoluto

.

Sea la función:

        funcion a trozos

Estudiar la derivabilidad de   f(x)  , sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus puntos de inflexión y representar gráficamente.


Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = R = [0, +∞)

Continuidad   y   derivabilidad

La función   f(x)   es continua y derivable para   x > 0   al tratarse de composición de funciones continuas y derivables) y también es continua y derivable para   x < 0   al ser una función polinómica.

Por lo tanto tenemos que estudiar la continuidad y derivabilidad en   x = 0 :

continuidad funcion a trozos

continuidad funcion a trozos

Por lo tanto los límites laterales coinciden y además ocurre que   f(0) = 0 ,  por lo tanto   f(x)   es continua en   x = 0 .

Además, tenemos que:

derivada funcion a trozos

Es decir, la función   f(x)   es derivable en   x = 0 .


Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        x2 = 0     ⇔     x = 0

        ln (1 + x2) = 0     ⇔     1 + x2 = e0     ⇔     1 + x2 = 1     ⇔     x2 = 0     ⇔     x = 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 02 = 0

        El punto de corte es:   (0, 0)


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

derivada funcion a trozos

f ' (x) = 0     ⇔     2x = 0     ⇔     x = 0

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0)   ,  (0, +∞)

Intervalo (- ∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (1) > 0
Signo de f ' (x) - +
Monotonía Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior hemos obtenido un único punto que anula a la derivada primera (también llamado punto crítico)   x = 0 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se trata de un máximo o de un mínimo.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada funcion a trozos

   •   f '' (0) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 0   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Min (0, 0)


Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion a trozos

segunda derivada funcion a trozos

Como   f ''(x) = 2   cuando   x < 0   descartamos el valor   x = -1   ya que no anula a la segunda derivada.

Por lo tanto tenemos que estudiar la curvatura en los siguientes intervalos:   (-∞, 0)  ,   (0, 1)  ,   (1, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) f '' (0,5) f '' (2)
Signo de f '' (x) + + -
Curvatura Concava (∪) Concava (∪) Convexa (∩)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 1.

En este punto la función pasa de concava a convexa, por lo tanto se trata de un punto de inflexión.

f(1) = ln 2     ⇒     (1, ln 2)   es un punto de inflexión

 

grafica funcion a trozos