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Ejercicios de representación de funciones logarítmicas

Representa gráficamente las siguientes funciones:


Resumen de las propiedades de la función logaritmo neperiano

1      La función logarítmica es la inversa de la exponencial:
     y = Ln x      ⇔      x = ey
2      La función    y = Ln x   tiene por dominio   { x ∈ R  |  x > 0 }   y por recorrido   R .
3      La función    y = Ln x   es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = Ln x   es convexa o cóncava hacia abajo en todo su dominio.
5      

Representa gráficamente la función:     f(x) = ln (x + 1)


Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo. En este caso está definido para        x + 1 > 0         ⇒        x > - 1:

   •   Dom(f) = (-1, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = R

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    (0, +∞) .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion logaritmica

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = ln (0 + 1) = ln 1 = 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como el puntos de corte con el eje OX es   x = 0  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, 0) ,   (0, +∞) :

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f(-1) < 0 f(1) > 0
Signo de f (x) - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) = ln (- x + 1) ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = ln (- x + 1) ≠ -f(x)   ⇒   No es impar.

Por lo tanto la función no es simétrica .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones logarítmicas nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

En este caso estudiamos el límite cuando   x → -1+

asintota vertical funcion logaritmica

Por lo tanto la función tiene una asíntota veritcal en   x = -1 .

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales. No estudiamos el límite en menos infinito puesto que la función únicamente está definida para valores estrictamente positivos.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

Es decir, no existe ningún valor que anule a la primera derivada.

Por lo tanto tenemos que estudiar el siguiente intervalo:    (0, +∞)

Intervalo (0, +∞)
Punto de prueba f ' (1) > 0
Signo de f ' (x) +
Monotonía Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos no existen puntos críticos o que anulen a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni níminos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion logaritmica

Por lo tanto ningún valor anula a la segunda derivada, por lo que únicamente estudiamos el intervalo donde está definida la función:    (0, +∞)

Intervalo (0, +∞)
Punto de prueba f '' (1) < 0
Signo de f '' (x) -
Curvatura Convexa (∩)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que no existe ningún punto que anule a la derivada segunda, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.


grafica funcion logaritmica

Representa gráficamente la función:     f(x) = ex + Ln x

a) Estudiar las asíntotas de   f(x)
b) Estudiar la monotonía de   f(x)
c) Deducir que    f(x)   presenta un punto de inflexión


Tipo de función

Función exponencial logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo. En este caso está definido para   x > 0:

   •   Dom(f) = (0, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = R

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    (0, +∞) .

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:

asintota vertical funcion logaritmica

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion logaritmica

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

Por lo tanto la función es creciente en    (0, +∞)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion logaritmica

Para demostrar que la anterior ecuación tiene una solución, utilizamos el teorema de Bolzano para:   g(x) = x2·ex - 1

La función   g(x)   es continua y derivable en el intervalo   (0, 1)   y además tenemos que:

•     g(0) = -1 < 0

•     g(1) = e - 1 > 0

Por el teorema de Bolzano existe un punto   c ∈ (0, 1)   tal que   g(c) = 0 

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que existe un punto   c   que anula a la segunda derivada.

Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:

punto inflexion funcion logaritmica

Por lo tanto, en   x = c    existe un punto de inflexión.


grafica funcion logaritmica

Representa gráficamente la función:     f(x) = - x Ln x


Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo. En este caso está definido para        x > 0:

   •   Dom(f) = (0, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = (-∞, 1/e)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    (0, +∞) .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion logaritmica

        El punto de corte es:   (1, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        La función no corta al eje OY puesto que no está definida en el punto   x = 0

Intervalos de signo constante

Como el puntos de corte con el eje OX es   x = 0  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, 0) ,   (0, +∞) :

Intervalo (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f(1/2) > 0 f(2) < 0
Signo de f (x) + -

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) = - (-x)·ln (- x) = x·ln (- x) ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = - (- x)·ln (- x) = x·ln (- x) ≠ -f(x)   ⇒   No es impar.

Por lo tanto la función no es simétrica .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones logarítmicas nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

En este caso estudiamos el límite cuando   x → 0+

asintota vertical funcion logaritmica

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales. No estudiamos el límite en menos infinito puesto que la función únicamente está definida para valores estrictamente positivos.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion logaritmica


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

Es decir, no existe ningún valor que anule a la primera derivada.

Por lo tanto tenemos que estudiar el siguiente intervalo:    (0, 1/e)   y   (1/e, +∞)

Intervalo (0, 1/e) (1/e, +∞)
Punto de prueba f ' (1/2e) > 0 f ' (1) > 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es      x = 1/e ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada funcion logaritmica

maximo funcion logaritmica

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion logaritmica

Por lo tanto ningún valor anula a la segunda derivada, por lo que únicamente estudiamos el intervalo donde está definida la función:    (0, +∞)

Intervalo (0, +∞)
Punto de prueba f '' (1) < 0
Signo de f '' (x) -
Curvatura Convexa (∩)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que no existe ningún punto que anule a la derivada segunda, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.


grafica funcion logaritmica

Representa gráficamente la función:  

funcion logaritmica


Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica tenemos que estudiar los valores que sean mayores que 0 y además los valores que anulan al denominador al ser racional:

dominio funcion logaritmica

Al estar el denominador elevado al cuadrado, cualquier número menos el 0 cumple la condición:

   •   Dom(f) = R - {0} = (-∞, 0) ∪ (0, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

recorrido funcion logaritmica

recorrido función logaritmica

   •   Im(f) = R = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R - {0} ,  es decir, es discontinua en el punto   x = 0

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte funcion logaritmica

        puntos de corte funcion logaritmica

        Los puntos de corte son:   (-1, 0)   y   (1, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        La función no está definida en   x = 0  ,   por lo tanto la función no corta al eje OY.

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje OX son   x = -1   y   x = 1   y además la función es discontinua en el punto   x = 0 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -1) ,   (-1, 0) ,   (0, 1)   y   (1, +∞) :

Intervalo (-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f(-3) < 0 f(-0,5) > 0 f(0,5) > 0 f(3) < 0
Signo de f (x) - + + -

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion logaritmica

Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones logarítmicas nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Donde se anula la característica del logarítmo:

asintota vertical funcion logaritmica

Por las características del logarítmo, sabemos que:

asintota vertical funcion logaritmica

Es decir, existe una asíntota vertical en   x = 0 .

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion racional

asintota horizontal funcion racional

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

El numerador de la primera derivada no se anula para ningún valor, puesto que   x2 ≠ -4   para cualquier valor de   x .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad sin incluir ninguno más puesto que no hay ningún valor que anule a la derivada primera:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) < 0 f ' (-1) < 0 f ' (1) < 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) - - - -
Monotonía Decrece Decrece Decrece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que ningún valor anula a la primera derivada, por lo tanto la función no tiene puntos críticos. Es decir, la función no tiene máximos ni mínimos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion racional

segunda derivada funcion racional

La segunda derivada se anula para   x = 0   y   2x2 + 24 = 0

La segunda ecuación no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada solamente se anula para   x = 0 .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad incluyendo el valor que anula a la segunda derivada:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-3) < 0 f '' (-1) > 0 f '' (1) < 0 f '' (3) > 0
Signo de f '' (x) - + - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

tercera derivada funcion racional

Por lo tanto   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0, 0)


grafica funcion logaritmica

Sea la función:

         funcion logaritmica

a) Dominio, cortes de los ejes y asíntotas
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) A partir de los datos obtenidos representar gráficamente la función


Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo, es decir, para los valores mayores de 0. En este caso está definido para:

dominio funcion logaritmica

dominio funcion logaritmica

Intervalo (-∞, -√2) (-√2, 1/2) (1/2, +√2) (+√2, +∞)
Punto de prueba g(-3) < 0 g(0) > 0 g(1) < 0 f(3) > 0
Signo de g (x) - + - +

dominio funcion logaritmica

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

Im(f) = R

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es discontinua en los intervalos    (-∞, -√2] ∪ [1/2, √2].

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos corte funcion logaritmica

        punto corte funcion logaritmica

        El punto de corte es:   (1 - √2, 0)     y     (1 - √2, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = ln 2     ⇒     El punto de corte con el eje OY es   (0, ln 2)

Intervalos de signo constante

Para estudiar los intervalos de signo constante debemos tener en cuenta el dominio de la función y los puntos de corte, es decir, tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, 0) ,   (0, +∞) :

Intervalo (-√2,   1 - √2) (1 - √2,   1/2) ( √2,   1 + √2) (1 + √2,   +∞)
Punto de prueba f(-1) < 0 f(0) > 0 f(2) < 0 f(4) > 0
Signo de f (x) - + - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria par

simetria impar

Por lo tanto la función no es simétrica .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones logarítmicas nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

En este caso estudiamos el límite cuando   x → 0+

asintota vertical funcion logaritmica

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales. No estudiamos el límite en menos infinito puesto que la función únicamente está definida para valores estrictamente positivos.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion logaritmica


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

<p></p>

primera derivada funcion logaritmica

Es decir, la primera derivada se anula cuando     x2 - x + 2 = 0

primera derivada funcion logaritmica

La ecuación anterior no tiene raíces reales, por lo que no existe ningún valor que anule a la primera derivada.

Por lo tanto, estudiamos los intervalos de continuidad:    (-√2, 1/2)   y   +√2, +∞)

Intervalo (-√2, 1/2) (+√2, +∞)
Punto de prueba f ' (0) > 0 f ' (2) > 0
Signo de f ' (x) + +
Monotonía Crece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que la primera derivada no se anula en ningún punto, por lo que la función no tiene ni máximos ni mínimos.


grafica funcion logaritmica

Sea la función:

         funcion logaritmica

a) Representar la función
b) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto de inflexión
c) Dibuja la recta tangente en el punto de inflexión


Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo, es decir, para los valores mayores de 0. En este caso está definido para:

Dom (f) = { x∈R   tales que   x > 0 } = (0, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

Im(f) = (-∞, 1/e)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es discontinua en los intervalos    (0, +∞).

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion logaritmica

        El punto de corte es:   (1, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        La función no está definida para   x = 0   por lo tanto la función no corta al eje OY.

Intervalos de signo constante

Para estudiar los intervalos de signo constante debemos tener en cuenta el dominio de la función y los puntos de corte, es decir, tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (0, 1) ,   (1, +∞) :

Intervalo (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f(0,5) < 0 f(2) > 0
Signo de f (x) - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion logaritmica

simetria funcion logaritmica

Por lo tanto la función no es simétrica .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones logarítmicas nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

En este caso estudiamos el límite cuando   x → 0+

asintota vertical funcion logaritmica

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales. No estudiamos el límite en menos infinito puesto que la función únicamente está definida para valores estrictamente positivos.

   •   Asíntotas oblicuas

La función no tiene asíntotas oblicuas porque ya tiene asíntota horizontal.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

La ecuación anterior no tiene raíces reales, por lo que no existe ningún valor que anule a la primera derivada.

Por lo tanto, estudiamos los intervalos de continuidad:    (-√2, 1/2)   y   +√2, +∞)

Intervalo (0, e) (e, +∞)
Punto de prueba f ' (0,5) > 0 f ' (4) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que la primera derivada se anula en   x = e .

Vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

segunda derivada funcion logaritmica

segunda derivada funcion logaritmica

maximo funcion logaritmica

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion logaritmica

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, e3/2) ,   (e3/2, +8)

Intervalo (0, e3/2) (e3/2, +∞)
Punto de prueba f '' (1) < 0 f '' (5) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que existe un punto que anula a la derivada segunda   x = e3/2.

Para saber si es un punto de inflexión, hallamos la tercera derivada:

tercera derivada funcion logaritmica

tercera derivada funcion logaritmica

punto inflexion funcion logaritmica

Por lo tanto en el punto   x = e3/2   existe un punto de inflexión:

punto inflexion funcion logaritmica

La ecuación de la recta tangente en el punto de inflexión es de la forma:   y - f(e3/2) = f ' (e3/2) ·(x - e3/2)

pendiente recta tangente funcion logaritmica

recta tangente funcion logaritmica


grafica funcion logaritmica

Sea la función:

         funcion logaritmica

a) Estudiar el dominio de la función
b) Hallar las asíntotas de la función
c) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
d) Estudiar los extremos relativos
e) Representar gráficamente


Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo. En este caso está definido para      x > 0 .   Además, el denominador de la función se anula cuando   ln x = 0   es decir, cuando   x = 1

   •   Dom(f) = (0, 1) ∪ (1, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    (0, +∞) .

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

El denominador de la función se anula en   x = 1   por lo que tenemos que hallar los límites laterales:

asintota vertical funcion logaritmica          asintota vertical funcion logaritmica

Por lo tanto   x = 1   es una asíntota vertical.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales. No estudiamos el límite en menos infinito puesto que la función no está definida para valores negativos.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion logaritmica

Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

primera derivada funcion logaritmica

Por lo tanto tenemos que estudiar el siguiente intervalo:    (0, 1)     ,     (1, 3√e)   y   (3√e, +∞)

Intervalo (0, 1) (1, 3√e) (3√e, +∞)
Punto de prueba f ' (0,5) < 0 f ' (1,1) < 0 f ' (3) > 0
Signo de f ' (x) - - +
Monotonía Decrece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es:      x = 3√e

Como la función es creciente en el intervalo   (1, 3√e)   y decreciente en el intervalo  (3√e, +∞))  ,   la función presenta un mínimo relativo:

minimo funcion logaritmica


grafica funcion logaritmica