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Ejercicios de representación de funciones con valor absoluto

Sea la función:     f(x) = | x | + | x - 2 |

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Dibuja la gráfica de   f(x)
c) Escribe el intervalo abierto de la recta real formado por los puntos en los que   f(x)   es derivable y se anula su derivada


a)   Expresa la función   f(x)  como una función definida a trozos

Estudiamos cada valor absoluto por separado:

funcion a trozos

funcion a trozos

A continuación, estudiamos la suma de los valores de   |x|   y   |x - 2|   en los tres intervalos que se generan:   (-∞ 0)  ,    (0, 2)    y    (2, +∞) .

          funcion a trozos

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


b)   Dibuja la gráfica de   f(x).

Las funciones que definen a   f  son polinómicas, por lo que son continuas en todo   R ,  y en particular, lo son en sus intervalos de definición.

Estudiamos la continuidad de f en los puntos de unión:   x = 0   ,   x = 2


•   x = 0


   f(0) = 2

limite lateral funcion a trozos

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 0  existe y además:

limite lateral funcion a trozos

Luego la función es continua en   x = 0 .


•   x = 2


   f(2) = 2·2 - 2 = 2

limite lateral funcion a trozos

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando   x → 2   existe y además:

limite leteral funcion a trozos

Luego la función es continua en   x = 2 .

Por tanto, la función   f  es continua en todo  R .


grafica funcion a trozos

c)   Escribe el intervalo abierto de la recta real formado por los puntos en los que   f(x)   es derivable y se anula su derivada.

derivada funcion a trozos

derivada funcion a trozos

Por lo tanto   f(x)   es derivable en toda la recta real exceptuando los puntos   x = 0   y   x = 2  ,   es decir   f(x) es derivable en   R - {0, 2} .

Por otra parte, tenemos que   f(x)   sea derivable y   f ' (x) = 0   en el intervalo   (0, 2).

Sea la función:     f(x) = | x2 + 2x - 15 |

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Dibuja la gráfica de   f(x)
c) Determina los puntos en que no es derivable la función


a)   Expresa la función   f(x)  como una función definida a trozos

funcion a trozos

Para definir la función, tenemos que resolver la siguiente ecuación:   x2 + 2x - 15 = 0

Las raíces de la ecuación son   x = 3   y   x = -5 ,  es decir, tenemos que estudiar como se comporta la función en los siguientes intervalos:   (-∞, -5)  ,   (-5, 3)   y   (3, +∞)

Intervalo (-∞, -5) (-5, 3) (3, +∞)
Punto de prueba f(-6) > 0 f(0) < 0 f(4) > 0
Signo de f (x) + - +

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

funcion a trozos


b)   Dibuja la gráfica de   f(x).

Las funciones que definen a   f  son polinómicas, por lo que son continuas en todo   R ,  y en particular, lo son en sus intervalos de definición.

A continuación vamos a calcular los puntos de corte:

•   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

punto corte funcion a trozos

Los puntos de corte son:   (-5, 0)   y   (3, 0)

•   Corte con el eje OY:   f(0)

punto corte funcion a trozos

El punto de corte es:   (0, 15)


Además, la función tiene un eje de simetría para   x = - b / 2a .   Es decir,    x = -1 .

Para   x = -1   tenemos que   f(-1) = 16 .   Por lo tanto el vértice es el punto  V (-1, 16) .


grafica funcion a trozos

c)   Determina los puntos en que no es derivable la función.

La función es continua y derivable al tratarse de funciones polinómicas, por lo que tenemos que estudiar únicamente los puntos de unión.

primera derivada funcion a trozos

limite lateral primera derivada

Por lo tanto   f(x)   es derivable en toda la recta real exceptuando los puntos   x = -5   y   x = 3  ,   es decir   f(x) es derivable en   R - {-5, 3} .

Sea la función:   f(x) = x2 - | x |

a) Estudia la derivabilidad de   f(x)
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de   f(x)
c) Calcula los extremos relativos de   f(x)
d) Representa la función


a)   Estudia la derivabilidad de   f(x)

Para estudiar la derivabilidad de la función, en primer lugar vamos a expresarla como una función a trozos:

funcion a trozos

Al tratarse de funciones polinómicas, son continuas y derivables en todo su dominio, por lo tanto únicamente estudiamos el punto de unión   x = 0 :

primera derivada funcion a trozos

limite lateral primera derivada funcion a trozos

Por lo tanto, la función es continua en todo R y derivable en R - {0}


b)   Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de   f(x)

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion a trozos

primera derivada funcion a trozos

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos (incluyendo el punto de unión de las dos ramas de la función):    (-∞ , -1/2) ,    (-1/2 , 0),    (0 , 1/2) ,    (1/2 , +∞)

Intervalo (-∞ , -1/2) (-1/2, 0) (0, 1/2) (1/2 , +∞)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (-1/4) > 0 f ' (1/4) > 0 f ' (1) > 0
Signo de f ' (x) - + - +
Monotonía Decrece Crece Decrece Crece

c)   Calcula los extremos relativos de   f(x)

Máximos y mínimos relativos

Hemos visto anteriormente que la primera derivada se anula en   x = -1/2   y   x = 1/2. 

Además, estudiamos también el punto   x = 0   al cambiar la función de rama en dicho punto:

•   x = -1/2 :   La función pasa de decreciente a creciente   ⇒   Min (-1/2, -1/4)

•   x = +1/2 :   La función pasa de decreciente a creciente   ⇒   Min (+1/2, -1/4)

•   x = 0 :   La función pasa de creciente a decreciente   ⇒   Max (0, 0)

La función es continua en   x = 0   pero no es derivable. Además, antes de   x = 0   la función crece y despues decrece, por lo tanto la función presenta un máximo relativo en el punto  (0, 0), en el que no es derivable.


d)   Representa la función

grafica funcion a trozos

Sea la función:   f(x) = x | x - 4 |

a) Estudia la continuidad de   f(x)
b) Estudia la derivabilidad en   x = 4
c) Representa la función


a)   Estudia la continuidad de   f(x)


Definimos la función   f  por trozos:

funcion a trozos

Las funciones que definen a   f   son polinómicas, por lo que son continuas en todo  R  y particular, lo son en sus respectivos intervalos de definición. Por tanto, la función   f   es continua en:    (-∞ , 4) ∪ (4 , ∞)

Veamos la continuidad en el punto de unión:   x = 4


x = 4

   f(4) = 42 - 4·4 = 0

funcion a trozos

Como los límites laterales coinciden, el límite cuando  x → 4  existe y además:

funcion a trozos


Luego la función   f   es continua en todo R .


b)   Estudia la derivabilidad en   x = 4

primera derivada funcion a trozos

limite lateral funcion a trozos

Por lo tanto la función no es derivable en   x = 4 .


c)   Representa la función


Hallamos los puntos de corte con los ejes:

•   Si   x = 0 :        y = f(0)     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)

•   Si   y = 0 :        - x2 + 4x = 0     ⇒     x(- x + 4) = 0     ⇒     x = 0   ó   x = 4     ⇒     (0 , 0)  ,  (4 , 0)

                            x2 - 4x = 0     ⇒     x(x - 4) = 0     ⇒     x = 0   ó   x = 4     ⇒     (0 , 0)  ,  (4 , 0)


Ambas ramas de  f  son funciones polinómicas de segundo grado, por lo que son parábolas. Para dibujarlas vamos a calcular sus respectivos vértices:

vertices funcio a trozos


grafica funcion a trozos

Sea la función:

          funcion a trozos

a) Indica el dominio de la función
b) Indica las asíntotas y su posición relativa
c) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento
d) Representa la función


a)   Indica el dominio de la función


Antes de nada, definimos la función   f  por trozos:

funcion a trozos

Las funciones que definen a   f   son racionales, por lo que son continuas excepto en los puntos que se anula el denominador. Por tanto, la función   f   es continua en:    (-∞ , 2) ∪ (2 , ∞)

Dom (f) = R - {2}


b)   Indica las asíntotas y su posición relativa

•   Asíntotas verticales:

La recta   x = 2   es una asíntota vertical, puesto que se verifica que:

asintota vertical funcion a trozos

•   Asíntotas horizontales:

Para calcular las asíntotas horizontales tenemos que calcular el límite en el infinito:

asintota horizontal funcion a trozos

asintota horizontal funcio a trozos

•   Asíntotas horizontales:

Como la función tiene asíntotas horizontales, no puede tener asíntotas oblicuas.


c)   Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento


Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento tenemos que calcular la primera derivada e igualarla a 0.

primera derivada funcion a trozos

Como la primera derivada no se anula, estudiamos los intervalos definidos por los puntos de discontinuidad y donde la función cambia de trozo o rama:   x = 0   y   x = 2

Intervalo (-∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (1) > 0 f ' (3) > 0
Signo de f ' (x) - + +
Monotonía Decrece Crece Crece

Como la función es continua en   x = 0   (pero no derivable) y en dicho punto cambia de decreciente a creciente, la función tiene un mínimo relativo en el punto   (0, 0) .


d)   Representa la función


grafica funcion a trozos

Sea la función:   f(x) = x2 + | x - 2 |

a) Estudia la continuidad de   f(x)
b) Estudia la derivabilidad en   x = 2
c) Representa la función


a)   Estudia la continuidad de   f(x)


Definimos la función   f  por trozos:

funcion a trozos

Las funciones que definen a   f   son polinómicas, por lo que son continuas en todo  R  y particular, lo son en sus respectivos intervalos de definición.

Veamos la continuidad en el punto de unión:   x = 2

limite lateral funcion a trozos

Es decir, la función es continua en   x =2 ,  por lo tanto es continua en toda la recta real:   Dom(f) = R


b)   Estudia la derivabilidad en   x = 2

primera derivada funcion a trozos

limite lateral primera derivada

Por lo tanto la función no es derivable en   x = 2 .


c)   Representa la función


grafica funcion a trozos

Sea la función:   f(x) = | x - 1 | + x2 + | x | + 1

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Estudia la derivabilidad en   x = 0   y   x = 1
c) Representa la función


a)   Expresa   f(x)   como una función definida a trozos

Al tratarse de una función definida como la suma de sumandos con valor absoluto, tenemos que estudiar los intervalos determinados por las soluciones de dichos sumandos:

funcion a trozos

Intervalo (-∞, 0) (0, 1) (1, +∞)
|x - 1| - x + 1 - x + 1 x - 1
x2 x2 x2 x2
|x| -x +x +x
+1 +1 +1 +1
|x - 1|+x2+|x|+1 x2 - 2x + 2 x2 + 2 x2 + 2x

Por lo tanto, nuestra función queda definida de la siguiente manera:

funcion a trozos


b)   Estudia la derivabilidad en   x = 0   y   x = 1

primera derivada funcion a trozos

limite lateral derivada

Al no coincidir los límites laterales, tenemos que la función no es derivable en   x = 0   y tampoco en   x = 1


c)   Representa la función


grafica funcion a trozos

Sea la función:

          funcion a trozos

a) Expresa   f(x)   como una función definida a trozos
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Estudia la curvatura de la función   f(x)
d) Representa gráficamente la función   f(x)
e) Obtener la gráfica de   y = f(x+2)


a)   Expresa   f(x)   como una función definida a trozos

Una de las ramas de la función posee un valor absoluto, así que hay que estudiar los intervalos determinados por las soluciones de dichos sumandos:

funcion a trozos

Por lo tanto, la primera rama de la función se expresa de la siguiente manera:

funcion a trozos

Es decir, la función original se define a trozos de la siguiente manera:

funcion a trozos


b)   Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para estudiar la monotonía de la función vamos a diferenciar los intervalos de definición:

primera derivada funcion a trozos

•   (-∞, 0)     ⇒     f ' (x) = 0     ⇔     2x - 2 = 0     ⇔     2x = 2     ⇔     x = 1∉ (-∞, 0)

•   (0, 2)     ⇒     f ' (x) = 0     ⇔     - 2x + 2 = 0     ⇔     2x = 2     ⇔     x = 1

•   (2, +∞)     ⇒     f ' (x) = 1/x ≠ 0    para cualquier valor de   x

Por lo tanto, tenemos que estudiar el signo de la primera derivada en los siguientes intervalos:   (-∞, 0)  .    (0, 1)  ,    (1, 2)    y    (2, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (0,5) > 0 f ' (1,5) < 0 f ' (3) > 0
Signo de f ' (x) - + - +
Monotonía Decrece Crece Decrece Crece

La función es continua en   x = 0   y pasa de decreciente a creciente, por lo tanto, existe un mínimo relativo en   (0, 0) .

La función es continua en   x = 1   y cambia de creciente a decreciente, luego existe un máximo relativo en   (1, 1) .


c)   Estudia la curvatura de la función   f(x)

Para estudiar la curvatura tenemos que igualar la segunda derivada a 0.

segunda derivada funcion a trozos

•   (-∞, 0)     ⇒     f '' (x) > 0     para cualquier valor de   x

•   (0, 2)     ⇒     f '' (x) < 0     para cualquier valor de   x

•   (2, +∞)     ⇒     f '' (x) < 0   para cualquier valor de   x

Como la segunda derivada no se anula para ningún valor, estudiamos los siguientes intervalos:   (-8, 0) .   (0, 2)   y   (2, +8)

<
Intervalo (-∞, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) > 0 f ' (1) < 0 f ' (3) < 0
Signo de f '' (x) + - -
Curvatura Cóncava (∪) Convexa (∩)Convexa (∩)

d)   Representa gráficamente la función   f(x)

grafica funcion a trozos

e)   Obtener la gráfica de   y = f(x+2)

La función   y = f(x + 2)   es una traslación de la función   y = f(x)   dos unidades hacia la izquierda.


grafica traslacion horizontal