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Asíntotas oblicuas

Asíntotas oblicuas lineales

Una función   f(x)   tiene una asíntota oblicua en   y = mx + n   si:

asintota oblicua

asintota oblicua


Para conocer la posición de la curva respecto de la asíntota oblicua se hallan:

          asintota oblicua


Asíntotas oblicuas:

ejemplo asintota

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos:

limite lateral oblicua

limite lateral oblicua


asintota oblicua

Calculamos la posición de la curva respecto a la asíntota oblicua:

limite oblicua infinito

La curva está encima de la asíntota oblicua.

limite oblicua infinito

La curva está por debajo de la asíntota oblicua.

Método general para hallar las asíntotas oblicuas

Para hallar una asíntota oblicua se hace la división del numerador entre el denominador, siendo el cociente la fórmula de la asíntota.

Caso I: Asíntota oblicua lineal

Si grado de P(x) - grado de Q(x) = 1

          asintota oblicua

 La recta   y = mx + n   es asíntota oblicua si se cumple alguna de la siguientes condiciones:

          asintota oblicua


Para calcular la posición de la curva respecto de las asíntotas oblicuas, hallamos:

          asintota oblicua

Si el límite da   0+   (cero por la derecha)   la gráfica de la función se encuentra por encima de la asíntota. Si el límite da   0-  (cero por la izquierda)   la gráfica de la función se encuentra por debajo de la asíntota.


Podemos calcular la asíntota oblicua del ejemplo anterior por este método:

ejemplo asintota

cociente

Por lo tanto, la asíntota oblicua es:   y = 2x - 1

Caso II: Asíntota oblicua no lineal o ramas parabólicas

Si grado de P(x) - grado de Q(x) ≥ 2

En este caso hay una asíntota oblicua no lineal o rama parabólica, donde se cumple que:

asintota oblicua

asintota oblicua


grafica asintota

•   Asíntota oblicua:

ejemplo

Para calcular la asíntota realizamos la división entre el numerador y el denominador:

asintota oblicua no lineal

Por lo tanto, existe una rama parabólica (asíntota oblicua no lineal):   y = x2

Resumen

Una función racional puede tener asíntotas verticales, horizontales y oblicuas:

          1) Tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no lo sean del numerador.

          2) Tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.

          3) Tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del denominador.

          4) Tiene una rama parabólica (asíntota oblicua no lineal) si el grado del numerador es 2 o más que el del denominador.

Una función racional puede tener varias asíntotas verticales, y a lo sumo una horizontal u oblicua. Si la tiene horizontal, no la tiene oblicua y viceversa.

izquierda
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