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Representación de funciones racionales

Representa gráficamente la función:  

funcion racional


Tipo de función

Función racional.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x2 - 4 = 0   ⇔   x2 = 4   ⇔   x = ±√4 = ±2

   •   Dom(f) = R - {-2, 2}

   •   Im(f) = R = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R - {-2, 2} ,  es decir, es discontinua en los puntos   x = -2   y   x = 2

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como el punto de corte con el eje OX es   x = 0   y además la función es discontinua en los puntos   x = -2    y   x = 2  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -2) ,   (-2, 0) ,   (-2, 0)   y   (0, +∞) :

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f(-3) < 0 f(-1) > 0 f(-1) < 0 f(3) > 0
Signo de f (x) - + - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion racional

Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen   O(0, 0) .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones racionales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador:

x2 - 4 = 0   ⇔   x2 = 4   ⇔   x = ±√4 = ±2   (estos valores no anulan al numerador)

Por lo tanto existen dos asíntotas verticales en   x = -2   y   x = 2

Para estudiar la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales estudiamos los límites laterales:

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional

asintota vertical funcion racional


   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion racional

asintota horizontal funcion racional

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

El numerador de la primera derivada no se anula para ningún valor, puesto que   x2 ≠ -4   para cualquier valor de   x .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad sin incluir ninguno más puesto que no hay ningún valor que anule a la derivada primera:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) < 0 f ' (-1) < 0 f ' (1) < 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) - - - -
Monotonía Decrece Decrece Decrece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que ningún valor anula a la primera derivada, por lo tanto la función no tiene puntos críticos. Es decir, la función no tiene máximos ni mínimos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion racional

segunda derivada funcion racional

La segunda derivada se anula para   x = 0   y   2x2 + 24 = 0

La segunda ecuación no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada solamente se anula para   x = 0 .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad incluyendo el valor que anula a la segunda derivada:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, 0) (0, 2) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-3) < 0 f '' (-1) > 0 f '' (1) < 0 f '' (3) > 0
Signo de f '' (x) - + - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

tercera derivada funcion racional

Por lo tanto   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0, 0)


grafica funcion racional

izquierda
         arriba
derecha