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Ejercicios de representación de funciones exponenciales

Representa gráficamente las siguientes funciones:


Resumen de las propiedades de la función exponencial   ex

1      La función exponencial es la inversa de la logarítmica:
     y = ex      ⇔      x = Ln y
2      La función   y = ex  tiene por dominio   R   y por recorrido   y > 0
3   La función    y = ex  es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = ex   es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
5      

Representa gráficamente la función:

         funcion exponencial


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = (0, e]

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        La función no corta al eje OX.

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = e     ⇒     El punto de corte es:   (0, e)

Intervalos de signo constante

La función es positiva en todo su dominio.

Simetrías

simetria funcion exponencial

Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY.

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

El dominio de la función es toda la recta real, por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en   y = 0   cuando   x → ±∞.

Además, sabemos que la curva de la función queda por encima de la asíntota horizontal.

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0)  ,     (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f ' (-1) > 0 f ' (1) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es      x = 0 .

En    x = 0   la función cambia de sentido pasando de creciente a decreciente, por lo tanto en   x = 0   la función presenta un máximo local.

   •   f (0) = e   ⇒   Hay un máximo en   (0, e)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos :    (-∞, -√2/2) ,    (-√2/2, √2/2)    y    (√2/2, +∞)

Intervalo (-∞, -√2/2) (-√2/2, √2/2) (√2/2, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) > 0 f '' (0) < 0 f '' (-1) > 0
Signo de f '' (x) + - +
Curvatura Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = ±√2/2

Al haber un cambio de concavidad a convexidad en   x = -√2/2   hay un punto de inflexión.

De igual forma, Al haber un cambio de convexidad a concavidad en   x = +√2/2   hay un punto de inflexión.

punto inflexion funcion exponencial


grafica funcion exponencial

Representa gráficamente la función:     f(x) = (x + 3)·e-x


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = (-∞, e2]

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (-3, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = (0 + 3)·e0 = 3·1 = 3

        El punto de corte es:   (0, 3)

Intervalos de signo constante

Como el puntos de corte con el eje OX es   x = -3  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -3) ,   (-3, +∞) :

Intervalo (-∞, -3) (-3, +∞)
Punto de prueba f(-4) < 0 f(0) > 0
Signo de f (x) - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) = (- x + 3)·e-(-x) = (- x + 3)·ex ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = (- x + 3)·e-(-x) = (- x + 3)·ex ≠ -f(x)   ⇒   No es impar.

Por lo tanto la función no es simétrica .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:

asintota vertical funcion exponencial

El denominador no se anula nunca. Además, el dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en   y = 0   cuando   x → +∞.

Veamos que pasa al estudiar su límite en menos infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, cuando la función tiende a menos infinito, no tiene asíntotas horizontales.

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la curva de la función queda por encima de la asíntota horizontal cuando   x → +∞

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

primera derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -2)    y    (-2, +∞)

Intervalo (-∞, -2) (-2, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) > 0 f ' (0) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es      x = -2 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada funcion exponencial

   •   f '' (-2) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -2   ⇒   f(-2) = e2   ⇒   Max (-2, e2)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos :    (-∞, -1) ,    (-1, +∞)

Intervalo (-∞, -1) (-1, +∞)
Punto de prueba f '' (-3) < 0 f '' (0) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda es   x = -1

Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:

punto inflexion

punto inflexion funcion exponencial

Por lo tanto, en   x = -1    existe un punto de inflexión.

punto inflexion funcion exponencial


grafica funcion exponencial

Representa gráficamente la función:  

funcion exponencial


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = [0, 1/e]

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto de corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como el puntos de corte con el eje OX es   x = 0  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, 0) ,   (0, +∞) :

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f(-3) > 0 f(3) > 0
Signo de f (x) + +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion exponencial

Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:

asintotas verticales

El denominador no se anula nunca. Además, el dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

La primera derivada se anula cuando se anula el segundo miembro, puesto que el primero no se anula para ningún valor de x .

2x - 2x3 = 0     ⇔     2x(1 - x2) = 0     ⇔      2x = 0     o     1 = x2     ⇔     x = 0     x = -1     x = 1

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -1) ,    (-1, 0) ,    (0, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) > 0 f ' (-0,5) < 0 f ' (0,5) > 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) + - + -
Monotonía Crece Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son      x = -1     x = 0     y     x = 1 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada funcion exponencial

   •   f '' (-1) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -1   ⇒   f(-1) = 1/e   ⇒   Max (-1, 1/e)

   •   f '' (0) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 0   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Min (0, 0)

   •   f '' (+1) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = +1   ⇒   f(+1) = 1/e   ⇒   Max (1, 1/e)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos :    (-∞, -1,51) ,    (-1,51, -0,47) ,    (-0,47, 0,47),    (0,47, 1,51),    (1,51, +∞)

Intervalo (-∞, -1,51) (-1,51, -0,47) (-0,47, 0,47) (0,47, 1,51) (1,51, +∞)
Punto de prueba f '' (-3) > 0 f '' (-1) < 0 f '' (0) > 0 f '' (1) < 0 f '' (3) > 0
Signo de f '' (x) + - + - +
Curvatura Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son:

puntos de inflexion funcion exponencial

Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:

tercera derivada funcion exponencial

tercera derivada funcion exponencial

La tercera derivada no se anula para ninguno de los puntos anteriores, por lo tanto, todos ellos son puntos de inflexión.

puntos inflexion funcion exponencial


grafica funcion exponencial

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:     f(x) = x4 e-x
Como consecuencia, calcular los máximos y mínimos locales de   f   y representar su gráfica.


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real. :

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = [0, +∞)

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 04·e0 = 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

primera derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0)  ,     (0, 4)    y    (4, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, 4) (4, +∞)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (1) > 0 f ' (5) < 0
Signo de f ' (x) - + -
Monotonía Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son      x = 0     y     x = 4 .

En    x = 0   la función cambia de sentido pasando de decreciente a creciente, por lo tanto en   x = 0   la función presenta un mínimo local y en    x = 4   cambia de creciente a decreciente por lo que presenta un máximo.

   •   f (0) = 0   ⇒   Hay un mínimo en   (0, 0)

   •   f (4) = 256·e-4   ⇒   Hay un máximo en   (4, 256·e-4)


grafica funcion logaritmica

Representa gráficamente la función:     f(x) = ex - e -x


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = R

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = e0 - e-0= 1 - 1 = 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como el puntos de corte con el eje OX es   x = 0  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, 0) ,   (0, +∞) :

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f(-1) < 0 f(1) > 0
Signo de f (x) - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) = e-x - e-(-x)= - ex + e-x = -f(x)   ⇒   Es impar.

Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen de coordenadas..

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

El dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la función no tiene asíntotas horizontales.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion exponencial

Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

primera derivada funcion exponencial

Por lo tanto la función es estrictamente creciente.

Intervalo (-∞, +∞)
Punto de prueba f ' (0) > 0
Signo de f ' (x) +
Monotonía Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos no existen puntos críticos o que anulen a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni níminos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos :    (-∞, 0) ,    (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) < 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0

Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:

tercera derivada funcion exponencial

punto de inflexion funcion exponencial

Por lo tanto, en   x = 0   existe un punto de inflexión.

punto inflexion funcion exponencial


grafica funcion exponencial

Representa gráficamente la función:

        funcion exponencial


Tipo de función

Función racional exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real, exceptuando los valores que anulan al denominador, es decir, toda la recta real menos   x = 1 .:

   •   Dom(f) = R- {1}

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = R - [0, e2) = (-∞0) ∪ [e2, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es discontinua en    x = 1.

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcio exponencial

        La función no corta al eje OX .

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, -1)

Intervalos de signo constante

Como la función no corta al eje OX, tenemos que estudiar los intervalos de continuidad, es decir:     (-∞, 1) ,   (1, +∞) :

Intervalo (-∞, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f(0) < 0 f(2) > 0
Signo de f (x) - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion exponencial

simetria funcion exponencial

Por lo tanto la función no es simétrica par ni impar.

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En nuestro caso   x = 1   anula al denominador y no anula al numerador, por lo tanto   x = 1   es una asíntota vertical.

Para hallar la posición relativa calculamos los límites laterales:

asintota vertical funcion exponencial

asintota vertical funcion exponencial

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto la función tiene una asíntota horizontal   y = 0   cuando   x → -∞   quedando la curva por debajo de dicha asíntota.

asintota horizontal funcion exponencial

Cuando   x → +∞   la función no tiene asíntota horizontal.

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion exponencial

Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos, incluyendo los de discontinuidad:    (-∞, 1) ,    (1, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, 1) (1, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (0) < 0 f ' (0,5) < 0 f ' (3) > 0
Signo de f ' (x) - - +
Monotonía Decrece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es      x = 2 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

La ecuación anterior no tiene soluciones reales, por lo tanto tenemos que estudiar únicamente los intervalos de continuidad :    (-∞, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f '' (0) < 0 f '' (2) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que ningún punto anula a la segunda derivada, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.


grafica funcion exponencial

Representa gráficamente la función:

         funcion exponencial


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real, ya que nunca se anula el denominador:

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = (1, 2)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        La función no corta al eje OX.

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 3/2)

Intervalos de signo constante

La función es positiva en todo su dominio.

Simetrías

simetria funcion exponencial

simetria funcion exponencial

Por lo tanto la función no es simétrica .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

El dominio de la función es toda la recta real, por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en   y = 1   cuando   x → -∞.

Veamos que pasa al estudiar su límite en más infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en   y = 2   cuando   x → +∞.

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto, la curva de la función queda por encima de la asíntota horizontal cuando   x → +∞

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

Por lo tanto la función es creciente en todo su dominio.

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que no existe ningún punto crítico o punto que anula a la derivada primera, po9r lo que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos :    (-∞, 0) ,    (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) > 0 f '' (1) < 0
Signo de f '' (x) + -
Curvatura Concava (∪) Convexa (∩)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anulan a la derivada segunda es   x = 0

Al haber un cambio de concavidad a convexidad en   x = 0   hay un punto de inflexión.

punto inflexion funcion exponencial


grafica funcion exponencial

Sea la función:

        funcion exponencial

a) Los puntos de corte con los ejes
b) Estudiar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
c ) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
d) Representar gráficamente


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real, ya que el denominador no se anula nunca. :

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = (-1, 1)

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 04·e0 = 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En nuestro caso ningún valor anula al denominador y el dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

La función tiene una asíntota horizontal   y = -1   cuando   x → -∞   

La función tiene una asíntota horizontal   y = +1   cuando   x → -∞   

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene asíntotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

 

Por lo tanto la función es creciente en todo su dominio.

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que la función no tiene puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.


grafica funcion exponencial

Sea la función:

        funcion exponencial

a) Estudiar la simetría
b) Hallar las asíntotas de la función
c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
d) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión
e) Representar gráficamente


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial cuyo exponente es   1/x   el dominio son todos los números reales menos el 0:

   •   Dom(f) = R - {0}

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

Simetrías

simetria funcion exponencial

Por lo tanto la función es simétrica impar.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En nuestro caso ningún valor anula al denominador y el dominio de la función son todos los números reales menos   x = 0 , por lo tanto debemos estudiar los límites laterales de la función en ese punto.

asintota vertical funcion exponencial               asintota vertical funcion exponencial

Por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial               asintota horizontal funcion exponencial

Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.

   •   Asíntotas oblicuas

Para calcular las asíntotas oblicuas tenemos que hallar el siguiente límite:

asintota oblicua funcion exponencial

Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

 

Por lo tanto la función es creciente en todo su dominio.

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que la función no tiene puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

La segunda derivada no se anula, por lo tanto tenemos que estudiar únicamente los intervalos de continuidad :    (-∞, 0) ,    (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) < 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que ningún punto anula a la segunda derivada, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.


grafica funcion exponencial

Representa gráficamente la función:     f(x) = ex + Ln x

a) Estudiar las asíntotas de   f(x)
b) Estudiar la monotonía de   f(x)
c) Deducir que    f(x)   presenta un punto de inflexión


Tipo de función

Función exponencial logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo. En este caso está definido para   x > 0:

   •   Dom(f) = (0, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = R

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    (0, +∞) .

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:

asintota vertical funcion logaritmica

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion logaritmica

   •   Asíntotas oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:

asintota oblicua funcion logaritmica

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion logaritmica

Por lo tanto la función es creciente en    (0, +∞)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion logaritmica

Para demostrar que la anterior ecuación tiene una solución, utilizamos el teorema de Bolzano para:   g(x) = x2·ex - 1

La función   g(x)   es continua y derivable en el intervalo   (0, 1)   y además tenemos que:

•     g(0) = -1 < 0

•     g(1) = e - 1 > 0

Por el teorema de Bolzano existe un punto   c ∈ (0, 1)   tal que   g(c) = 0 

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que existe un punto   c   que anula a la segunda derivada.

Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:

punto inflexion funcion logaritmica

Por lo tanto, en   x = c    existe un punto de inflexión.


grafica funcion logaritmica

Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función dada por la ecuación   f(x) = ex sen x   en el intervalo  [0 , 2π] .

Seguiremos los siguientes puntos:

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f ' (x) = ex sen x  +  ex cos x = ex (sen x + cos x) = 0      ⇒      sen x + cos x = 0   (ex ≠ 0  para todo   x∈R)

Resolvemos la ecuación para los  x ∈ [0 , 2π] :

sen x + cos x = 0      ⇒      sen x = - cos x      ⇒      x = 3π/4   ,   x = 7π/4

Tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos:    (0, 3π/4) ,    (/4 , 7π/4) ,    (/4 , 2π)

Intervalo (0, 3π/4) (/4 , 7π/4) (/4 , 2π)
Punto de prueba f ' ( π/4) > 0 f ' (π) < 0 f ' (11π/6) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 3π/4    y   x = 7π/4  ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

f '' (x) = ex(sen x + cos x)  +  ex(cos x - sen x) = ex (sen x + cos x + cos x - sen x) = 2 ex cos x

   •   f '' (3π/4) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x =3π/4   ⇒   f3π/4) = e3π/4 √2/2  ⇒   Max (3π/4 , e3π/4 √2/2)

   •   f '' (7π/4) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 7π/4   ⇒   f(7π/4) = - e3π/4 √2/2   ⇒   Min (7π/4 , - e3π/4 √2/2 )

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 2 ex cos x = 0      ⇒      cos x = 0    ,   (ex≠0  para todo x ∈ R)      ⇒      x = π/2   ,   x = 3π/2

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, π/2)    ,   ( π/2, 3π/2)  ,   (/2, 2π)

Intervalo (0, π/2) ( π/2, 3π/2) (/2, 2π)
Punto de prueba f '' ( π/4) > 0 f '' (π) < 0 f '' (7π/4) > 0
Signo de f '' (x) + - +
Curvatura Cóncava (∪) Convexa (∩) Cóncava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en    (0, π/2)∪ (/2, 2π)   y cóncava hacia abajo o convexa en    ( π/2, 3π/2) .

Puntos de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = π/2  ,  x = 3π/2    y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f ''' (x) = 2 ex cos x + 2 ex (- sen x) = 2 ex (cos x - sen x)

f ''' (π/2) ≠ 0   ⇒   x = π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(π/2) = eπ/2   ⇒   Punto inflexión (π/2, eπ/2)

f ''' (3π/2) ≠ 0   ⇒   x =3π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(3π/2) = - eπ/2  ⇒   Punto inflexión (3π/2 , - eπ/2)


representacion grafica