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Ejercicios de representación de funciones polinómicas

Representa gráficamente la función:   y = 5 + 4x - x2

Tipo de función

Función polinómica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = R = (-∞, 9)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        5 + 4x - x2 = 0      ⇒      resolvemos la ecuación de segundo grado:   x = -1   ,   x = 5

        Los puntos de corte son:   (-1, 0)   y   (5, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 5 + 4·0 - 02 = 5

        El punto de corte es:   (0, 5)

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje OX son   x = -1   y   x = 5 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -1) ,      (-1, 5) ,      (5, +∞) :

Intervalo (-∞, -1) (-1, 5) (5, +∞)
Punto de prueba f(-2) < 0 f(0) > 0 f(6) < 0
Signo de f (x) - + -

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) = 5 + 4(-x) - (-x)2 = 5 - 4x - x2 ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = 5 + 4(-x) - (-x)2 = 5 - 4x - x2≠ - f(x)   ⇒   No es impar.

Periodicidad

No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son.

Asíntotas

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f ' (x) = 4 - 2x = 0   ⇒   -2x = -4   ⇒   2x = 4   ⇒   x = 2

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 2)   ,  (2, +∞)

Intervalo (- ∞, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (0) > 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior hemos obtenido un único punto que anula a la derivada primera (también llamado punto crítico)   x = 2 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se trata de un máximo o de un mínimo.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = - 2

   •   f '' (2) = - 6 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 2   ⇒   f(2) = 9   ⇒   Max (2, 9)

Como nuestra función es un polinomio de segundo grado el punto máximo obtenido coincide con el vértice de la parábola.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = - 2 ≠ 0   para cualquier x ∈ R      ⇒      no existen puntos de inflexión.

Como la función no tiene puntos de inflexión, la curvatura será igual en todo su dominio.

Veamos qué tipo de curvatura tiene:

Intervalo (-∞,+∞)
Punto de prueba f '' (0) = - 2< 0
Signo de f '' (x) -
Curvatura Convexa (∩)

La función es cóncava hacia abajo o convexa en todo su dominio.

Punto de inflexión

En el apartado anterior hemos visto que la función no tiene puntos de inflexión.

Podemos comprobarlo también calculando la tercera derivada:

f '''(x) = 0     para cualquier   x ∈ R

Como no existe ningún punto x para el que la tercera derivada no se anule, la función no tiene puntos de inflexión.

parabola

Representa gráficamente la función:   y = x3 + x2 - 5x + 3

Tipo de función

Función polinómica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = R = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = x3 + x2 - 5x + 3 = 0

       Intentamos resolver la ecuación aplicando Ruffini con los valores ±1 , ±3 .

       ruffini

       Tenemos dos soluciones:      x = 1  (raíz doble)   ,   x = - 3

        Los puntos de corte son:   (1, 0)   y   (-3, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 03 + 02 - 5·0 + 3= 3

        El punto de corte es:   (0, 3)

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje OX son   x = 1   y   x = -3 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -3) ,      (-3, 1) ,      (1, +∞) :

Intervalo (-∞, -3) (-3, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f(-4) < 0 f(0) > 0 f(2) > 0
Signo de f (x) - + +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) =(-x)3 + (-x)2 - 5·(-x) + 3 =- x3 + x2 + 5x + 3 ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = (-x)3 + (-x)2 - 5·(-x) + 3 =- x3 + x2 + 5x + 3≠ - f(x)   ⇒   No es impar.

Periodicidad

No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son.

Asíntotas

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f ' (x) = 3x2 + 2x - 5 = 0   ⇒    x = 1    y    x = - 5/3

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, - 5/3) ,    (-5/3 , 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞, - 5/3) (-5/3 , 1) (1, +∞)
Punto de prueba f ' (-2) > 0 f ' (0) < 0 f ' (2) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = -5/3   y   x = 1 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = 6x + 2

   •   f '' (-5/3) = - 8 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -5/3   ⇒   f(-5/3) = 256/27   ⇒   Max (-5/3, 256/27)

   •   f '' (1) = + 8 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 1   ⇒   f(1) = 0   ⇒   Min (1, 0)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 6x + 2 = 0   ⇒   6x = - 2   ⇒   x = -1/3

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -1/3) ,   (-1/3, +∞) :

Intervalo (-∞, -1/3) (-1/3, +∞)
Punto de prueba f '' (-1) < 0 f '' (0) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en el intervalo   (-1/3, +∞)   y cóncava hacia abajo o convexa en el intervalo  (-∞, -1/3) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = -1/3   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f '' (x) = 6x + 2 = 0   ⇒   6x = - 2   ⇒   x = -1/3

f ''' (x) = 6 ≠ 0   ⇒   x = -1/3   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(-1/3) = 88/27   ⇒   Punto inflexión (-1/3, 88/27)

funcion cubica

Dibujar la gráfica de la función   f(x) = x3 - 2x2 + x - 1  ;  hallar los máximos, mínimos y puntos de inflexión, y los puntos de ella en los que la pendiente de la tangente sea   5 .

Tipo de función

Función polinómica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = R = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real  R   por ser una función polinómica.

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = x3 - 2x2 + x - 1 = 0

        Para encontrar un punto en el que la función corta al eje OX vamos a intentar aplicar el teorema de Bolzano.

        Para ello probamos con distintos puntos para ver el signo de la función:

        •   Si  x = 1      ⇒      f(1) = -1 < 0

        •   Si  x = 2      ⇒      f(2) = 1 > 0

        Por el teorema de Bolzano para funciones continuas, tenemos que existe un  c ∈ (1 , 2)  tal que f(c) = 0 , es decir, la función corta al eje OX en el intervalo (1 , 2) .

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 03 - 02 + 0 - 1= - 1

        El punto de corte es:   (0, - 1)

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f ' (x) = 3x2 - 4x + 1 = 0    ⇒   x = 1   y   x = 1/3

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 1/3) ,   (1/3 , 1) ,   (1, +∞)

Intervalo (-∞, 1/3) (1/3, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f ' (0) > 0 f ' (1/2) < 0 f ' (2) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 1/3   y   x = 1 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = 6x - 4

   •   f '' (1/3) = -2 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 1/3   ⇒   f(1/3) = -23/27   ⇒   Max (1/3, -23/27)

   •   f '' (1) = + 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 1   ⇒   f(1) = -1   ⇒   Min (1, -1)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 6x - 4 = 0   ⇒   6x = 4   ⇒   x = 2/3

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 2/3) ,   (2/3, +∞) :

Intervalo (-∞, 2/3) (2/3, +∞)
Punto de prueba f '' (0) < 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en el intervalo   (2/3, +∞)   y concava hacia abajo o convexa en el intervalo   (-∞, 2/3) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 2/3   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f '' (x) = 6x - 4 = 0   ⇒   6x = 4   ⇒   x = 2/3

f ''' (x) = 6 ≠ 0   ⇒   x = 2/3   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(2/3) = - 25/27   ⇒   Punto inflexión (2/3, - 25/27)


Calculamos los puntos de la función en los que la pendiente de la tangente vale 5:

La pendiente de la tangente de una función se calcula hallando la primera derivada de la función.

Por tanto, la pendiente de la tangente valdrá   5   en aquellos puntos en los que la derivada primera de la función valga  5 .

f(x) = x3 - 2x2 + x - 1

f ' (x) = 3x2 - 4x + 1 = 5      ⇔      3x2 - 4x + 1 - 5 = 0      ⇔      3x2 - 4x - 4 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos los puntos que buscamos:     x = - 2/3   ,   x = 2

f(2) = 1

f(-2/3) = -77/27

Luego los puntos son:

            puntos pendiente

cubica

Se considera la función   f(x) = - x3 + bx2 + x + d .

a)    Calcula razonadamente los valores de   b   y   d   para que la función   f(x)   tenga un máximo relativo en el punto  (1 , 4) .
b)    Suponiendo   b = 1   y   d = 3 ,  representa gráficamente la función   f(x)   en el intervalo  [-2 , 2] .

a)    Calcula razonadamente los valores de   b   y   d   para que la función   f(x)   tenga un máximo relativo en el punto  (1 , 4) .

Como la función tiene que pasar por el punto (1 , 4), se tiene que cumplir que:      f(1) = 4

             f(1) = - 13 + b·1 + 1 + d = 4      ⇒      - 1 + b + 1 + d = 4      ⇒      b + d = 4

Como la función tiene un máximo relativo en el punto (1 , 4), la derivada primera en dicho punto tiene que ser 0:

             f ' (x) = - 3x2 + 2bx + 1

             f ' (1) = - 3·12 + 2b·1 + 1 = 0      ⇒      - 3 + 2b + 1 = 0      ⇒      2b = - 1 + 3 = 2      ⇒      b = 1

Como ya sabemos el valor de b, podemos sustituir en la primera ecuación:

             b + d = 4      ⇒      1 + d = 4      ⇒      d = 3


b)    Suponiendo   b = 1   y   d = 3 ,  representa gráficamente la función   f(x)   en el intervalo  [-2 , 2] .

Si   b = 1   y   d = 3 ,  tenemos la función:      f(x) = - x3 + x2 + x + 3

Para representarla gráficamente en el intervalo [-2 , 2] vamos a seguir los siguientes puntos:


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f ' (x) = - 3x2 + 2x + 1 = 0   ⇒   x = -1/3   ,   x = 1

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-2, -1/3)   ,  (-1/3, 1)   ,   (1 , 2)

Intervalo (-2, -1/3) (-1/3, 1) (1, 2)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (0) > 0 f ' (3/2) < 0
Signo de f ' (x) - + -
Monotonía Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = -1/3   y   x = 1 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = - 6x + 2

   •   f '' (-1/3) = 4 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = -1/3   ⇒   f(-1/3) = 76/27   ⇒   Min (-1/3 ,  76/27)

   •   f '' (1) = - 4 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 1   ⇒   f(1) = 4   ⇒   Max (1 ,  4)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = - 6x + 2 = 0      ⇔      - 6x = - 2      ⇔      x = 1/3

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-2, 1/3) ,   (1/3, 2) :

Intervalo (-2, 1/3) (1/3, 2)
Punto de prueba f '' (0) = -2 > 0 f '' (1) = -4 < 0
Signo de f '' (x) + -
Curvatura Cóncava(∪) Convexa(∩)

La función es cóncava hacia abajo o convexa en (1/3, 2) , y cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en (-2, 1/3).

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 1/3   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f '' (x) = - 6x + 2 = 0      ⇔      - 6x = - 2      ⇔      x = 1/3

f ''' (x) = -6 ≠ 0   ⇒   x = 1/3   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(1/3) = 92/27   ⇒   Punto inflexión (1/3, 92/27)

funcion cubica

Representa gráficamente la función:   y = (x2 + x)2

Tipo de función

Función polinómica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = (0, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        (x2 + x)2 = 0      ⇒         x2 + x = 0      ⇒      x(x + 1) = 0      ⇒      x = 0   ,   x = - 1

        Los puntos de corte son:   (0, 0)   y   (-1, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = (02 + 0)2= 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje OX son   x = 0   y   x = -1 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -1) ,      (-1, 0) ,      (0, +∞) :

Intervalo (-∞, -1) (-1, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f(-2) > 0 f(-1/2) > 0 f(1) > 0
Signo de f (x) + + +

Observamos que nuestra función está elevada al cuadrado, por tanto, siempre será positiva.

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) =( (-x)2 - x)2 =(x2 - x)2 ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = ( (-x)2 - x)2 =(x2 - x)2 ≠ - f(x)   ⇒   No es impar.

Periodicidad

No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son.

Asíntotas

Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f ' (x) = 2(x2 + x)(2x + 1) = 0   ⇒    ⇒      x2 + x = 0    ó    2x + 1 = 0      ⇒      x = 0   ,   x = -1    y    x = -1/2

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, - 1) ,    (-1 , -1/2) ,    (-1/2, 0)   ,   (0 , +∞)

Intervalo (-∞, - 1) (-1 , -1/2) (-1/2, 0) (0 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) < 0 f ' (-2/3) > 0 f ' (1/3) < 0 f ' (1) > 0
Signo de f ' (x) - + - +
Monotonía Decrece Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 0   ,   x = -1   y   x = -1/2 vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = 2(2x + 1)(2x + 1) + 2(x2 + x)(2) = 12x2 + 12x + 2

   •   f '' (0) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 0   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Min (0, 0)

   •   f '' (-1) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = -1   ⇒   f(-1) = 0   ⇒   Min (-1, 0)

   •   f '' (-1/2) = -1 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -1/2   ⇒   f(-1/2) = 1/16   ⇒   Min (-1/2, 1/16)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 12x2 + 12x + 2 = 0

ecuacion segundo grado

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -0,79) ,   (-0,79  , -0,21)   ,   (-0,21 ,  +∞) :

Intervalo  (-∞, -0,79) (-0,79  , -0,21) (-0,21 ,  +∞)
Punto de prueba f '' (-1) > 0 f '' (-1/2) < 0 f '' (0) > 0
Signo de f '' (x) + - +
Curvatura Concava (∪) Convexa(∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en el intervalo    (-∞, -0,79)∪(-0,21 ,  +∞)   y cóncava hacia abajo o convexa en el intervalo  (-0,79  , -0,21) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = -0,79   y   x = -0,21  ,   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f '''(x) = 24x + 12

f ''' (-0,79) ≠ 0   ⇒   x = -0,79   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(-0,79) = 0,03  ⇒   Punto inflexión (-0,79 ,  0,03)

f ''' (-0,21) ≠ 0   ⇒   x = -0,21   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(-0,21) = 0,03  ⇒   Punto inflexión (-0,21 ,  0,03)

funcion cuartica

Se considera la función de variable real:

representacion polinomio a la quinta

Se pide: crecimiento o decrecimiento, extremos relativos, curvatura, puntos de inflexión y dibujo de su gráfica.

Tipo de función

Función polinómica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        1/12(x5 - 80x) = 0      ⇒      x5 - 80x = 0      ⇒     x(x4 - 80) = 0

        puntos de corte

        puntos de corte

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        f(0) = 1/12(05 - 0)= 0

        El punto de corte es:   (0, 0)

Simetrías

f(- x) = 1/12 ( (-x)5 - 80(-x) ) = 1/12(- x5 + 80x)  ≠ f(x)   ⇒   No es par.

f(- x) = 1/12 ( (-x)5 - 80(-x) ) = 1/12(- x5 + 80x) = - 1/12(x5 - 80x) = - f(x)   ⇒   Es impar.

La función tiene simetría impar, es decir, es simétrica respecto del origen.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

derivada polinomio

maximos y minimos

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, - 2) ,    (-2 , 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, - 2) (-2 , 2) (2, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) > 0 f ' (0) < 0 f ' (3) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = -2   y   x = 2   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada polinomio

   •   f '' (-2) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -2   ⇒   f(-2) = 4   ⇒   Max (-2, 8)

   •   f '' (2) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 2   ⇒   f(2) = -4   ⇒   Min (2, - 8)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

puntos de inflexion

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0) ,   (0 ,  +∞) :

Intervalo  (-∞, 0) (0 ,  +∞)
Punto de prueba f '' (-1) < 0 f '' (1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en el intervalo    (0 ,  +∞)   y cóncava hacia abajo o convexa en el intervalo  (-∞, 0) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el único punto que anula a la derivada segunda es   x = 0  ,   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

tercera derivada polinomio

f ''' (0) = 0   ⇒   como se anula, calculamos la siguiente derivada

derivada cuarta polinomio

f (4) (0) = 0   ⇒   como se anula, calculamos la siguiente derivada

derivada quinta polinomio

f (5) (0) ≠ 0   ⇒   como estamos en una derivada impar   (5)   tenemos que  x = 0   es la abscisa del punto de inflexión

                    f(0) = 0  ⇒   Punto inflexión (0 ,  0)

Ver regla general para el cáculo del punto de inflexión

polinomio a la quinta