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Funciones crecientes y decrecientes

Una función   f(x)   es creciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números   x1   y   x2   en el intervalo,   x1 < x2   implica que   f(x1) < f(x2) .

Una función   f(x)   es decreciente sobre un intervalo si para cualesquiera dos números   x1   y   x2   en el intervalo,   x1 < x2   implica que   f(x1) > f(x2) .


Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea   f(x)   una función que es continua en el intervalo   [a, b]   y derivable en el intervalo abierto   (a, b) . Entonces ocurre que:

1)   Si   f ' (x) > 0   para todo   x ∈(a, b) ,   entonces   f(x)   es creciente en el intervalo   [a, b] .

2)   Si   f ' (x) < 0   para todo   x ∈(a, b) ,   entonces   f(x)   es decreciente en el intervalo   [a, b] .

3)   Si   f ' (x) = 0   para todo   x ∈(a, b) ,   entonces   f(x)   es constante en el intervalo   [a, b] .


Un punto crítico o singular es un punto en el que la primera derivada se anula. Un punto crítico puede ser un máximo o un mínimo relativo o un punto de inflexión.

Procedimiento para hallar el crecimiento y decrecimiento de una función

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:   f(x) = x3 - 3x + 2



1)   Se hallan los puntos críticos, es decir, los puntos que anulan a la primera derivada.

Calculamos la primera derivada de la función.

f ' (x) = 3x2 - 3

A continuación calculamos las raíces de la primera derivada.

3x2 - 3 = 0   ⇔   3x2 = 3   ⇔   x2 = 1   ⇔   x = ±1

Por lo tanto la primera derivada se anula en   x = -1   y   x = 1 .


2)   Se hallan las discontinuidades.

La función   f(x)   es continua en todo R, luego no tiene discontinuidades.


3)   Se representan en la recta real los puntos críticos y las discontinuidades.

Se prueba un punto de cada uno de los intervalos de la primera derivada. Solamente se considera el signo.

signo primera derivada

•   f ' (-2) = 3·(-2)2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0

•   f ' (0) = 3·02 - 3 = - 3 < 0

•   f ' (+2) = 3·(+2)2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0


4)   Se escriben los intervalos de crecimiento:   f ' (x) > 0   en el intervalo   (-∞, -1) ∪ (1, +∞)

Se escriben los intervalos de decrecimiento:   f ' (x) < 0   en el intervalo   (-1, 1)

grafica signo primera derivada

izquierda
         arriba
derecha