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Ejercicios de representación de funciones racionales   I

Dibujar la gráfica de la siguiente función indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas.

selectividad estudio funcion

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x + 1 = 0      ⇔      x = - 1

                  Dom(f) = R - { - 1}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos corte ejes

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos corte ejes

        El punto de corte es:   (0, 0)

Simetrías

simetría par

simetria impar

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

x + 1 = 0      ⇔      x = - 1   (este valor no anula al denominador)

Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en   x = - 1 .

Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical estudiamos los límites laterales:

asintota vertical

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal

asíntota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia funcion

crecimiento y decrecimiento

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞ , -1) ,    (- 1 , +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (- 1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) > 0 f ' (0) > 0
Signo de f ' (x) + +
Monotonía Crece Crece

Máximos y mínimos relativos

Hemos visto anteriormente que la primera derivada no se anula en ningún valor, por tanto, la función no tiene máximos ni mínimos.


selectividad representa graficamente

Estudiar y representar gráficamente la función:

selectividad estudiar funcion

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

(x - 2)2 = 0      ⇔      x - 2 = 0      ⇔      x = 2

                  Dom(f) = R - {2}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos corte eje OX

        La función no corta al eje OX.

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos corte eje OY

        El punto de corte es:   (0 , 1/4)

Simetrías

simetria par

simetria impar

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

(x - 2)2 = 0      ⇔      x - 2 = 0      ⇔      x = 2      (no anula al numerador)

La función tiene una asíntota vertical en    x = 2 .

Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical estudiamos los límites laterales:

asintota vertical

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal

asintota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia de una funcion

maximos y minimos

La derivada primera no se anula en ningún punto.

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞ , 2) ,    (2 , +∞)

Intervalo (-∞ , 2) (2 , +∞)
Punto de prueba f ' (0) > 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Hemos visto anteriormente que la primera derivada no se anula en ningún valor, por tanto, la función no tiene máximos ni mínimos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

curvatura funcion

curvatura funcion

La derivada segunda no se anula en ningún valor.

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞, 2) ,    (2, +∞)

Intervalo (-∞, 2) (2, +∞)
Punto de prueba f '' (0) > 0 f '' (3) > 0
Signo de f '' (x) + +
Curvatura Concava (∪) Concava (∪)

Observamos que la derivada segunda siempre es positiva, por lo que podemos afirmar directamente que es cóncava en todo su dominio sin realizar la tabla.

Punto de inflexión

En el apartado anterior hemos visto que la segunda derivada no se anula para ningún valor de x, luego la función no tiene puntos de inflexión.


selectividad estudia y representa graficamente

Sea la función:

funcion selectividad

a)  Calcula sus asíntotas.
b)  Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)  Calcula sus máximos, mínimos y puntos de inflexión.
d)  Dibuja la gráfica de la función con todos los datos obtenidos.

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

Observamos que  x2 + 1 > 0 , es decir, no existe ningún valor real que anule al denominador. Por tanto:

                  Dom(f) = R

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos corte ejes

        El punto de corte es:   (0, 0)   ,   (-1, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte eje OY

        El punto de corte es:   (0, 0)

Simetrías

simetría par

simetría impar

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

Hemos visto que no existen valores reales que anulen al denominador, por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal

asintota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

derivada funcion racional

crecimiento decrecimiento funcion

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞ , 1 - √2) ,    (1 - √2 , 1 + √2) ,    (1 + √2 , +∞)

Intervalo (-∞ , 1 - √2) (1 - √2 , 1 + √2) (1 + √2 , +∞)
Punto de prueba f ' (-1) < 0 f ' (0) > 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) - + -
Monotonía Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 1 - √2    y    x = 1 + √2 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

segunda derivada funcion racional

   •   f '' (1 - √2) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 1 - √2   ⇒   f(1 - √2) = - 0,21   ⇒   Min (1 - √2, - 0,21)

   •   f '' (1 + √2) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 1 + √2   ⇒   f(1 + √2) = 1,21   ⇒   Max (1 + √2, 1,21)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

curvatura funcion

Resolviendo ambas ecuaciones, tenemos que la segunda derivada se anula para:   x = -1   ,   x = 2 - √3   ,   x = 2 + √3

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -1) ,    (-1, 2 - √3) ,    (2 - √3, 2 + √3) ,    (2 + √3, +∞)

Intervalo (-∞, -1) (-1, 2 - √3) (2 - √3, 2 + √3) (2 + √3, +∞)
Punto de prueba f '' (-2) < 0 f '' (0) > 0 f '' (1) < 0 f '' (4) > 0
Signo de f '' (x) - + - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = -1   ,   x = 2 - √3   ,   x = 2 + √3.

En la tabla anterior hemos comprobado que la función tiene curvatura distinta antes y después de cada uno de dichos puntos (pasa de curvatura convexa a cóncava, y viceversa), por lo que se confirma que son puntos de inflexión.


selectividad representa graficamente

Dada la siguiente función:

funcion racional

a) Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la gráfica de f(x)
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f(X)
c) Esboza la gráfica de f(x)


Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:     x2 + x + 1 = 0

La ecuación anterior no tiene soluciones reales, por lo tanto el dominio de la función es toda la recta real.

                  Dom(f) = R

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion racional

        Por lo tanto la función no corta el eje OX .

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto corte funcion racional

        El punto de corte es:   (0, 1)

Simetrías

simetria funcion racional

simetria funcion racional

Por tanto la función no tiene simetría.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

Hemos visto que no existen valores reales que anulen al denominador, por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion racional

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal

asintota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion racional

primera derivada funcion racional

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞ , -1) ,    (-1 , 1)   ,   (1 , +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (-1 , 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) > 0 f ' (0) < 0 f ' (2) < 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = -1   y   x = +1.

   •   x = - 1 :   la función crece en   (-∞ , -1)   y decrece en  (-1 , +1) ,  por tanto  tiene que ser un máximo relativo.

        f(-1) = 3   ⇒   Máximo (-1, 3)

   •   x = +1 :   la función decrece en (-1 , +1) y crece en   (+1 , +∞) ,  por tanto  tiene que ser un mínimo relativo.

        f(+1) = 1/3   ⇒   Máximo (+1, 1/3)

Dada la siguiente función, determinar razonadamente:

selectividad estudio de funciones

a) El dominio.
b) Los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
c) Las ecuaciones de sus asíntotas, si es que las tiene.
d) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
e) Su representación gráfica.

Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio:

x2 - 1 = 0      ⇔      x2 = 1      ⇔      x = ± 1

                  Dom(f) = R - {-1 , +1}

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte con los ejes

        La función no corta al eje OX.

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte ejes

        El punto de corte es:   (0, -2)

Simetrías

simetria par

simetria impar

Por tanto la función es simétrica respecto del eje de ordenadas OY.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

x2 - 1 = 0      ⇔      x2 = 1      ⇔      x = ± 1         (el numerador no se anula en dichos puntos)

La función tiene dos asíntotas verticales:      x = -1   ,   x = 1

Para estudiar la posición de la curva respecto a la asíntota vertical estudiamos los límites laterales:

asintota vertical

asintota vertical

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal

asintota horizontal

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia funcion

maximos y minimos funcion

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad:    (-∞ , -1) ,    (-1 , 0) ,    (0 , 1)   ,   (1 , +∞)

Intervalo (-∞ , -1) (-1 , 0) (0 , 1) (1 , +∞)
Punto de prueba f ' (-2) > 0 f ' (-1/2) > 0 f ' (1/2) < 0 f ' (2) < 0
Signo de f ' (x) + + - -
Monotonía Crece Crece Decrece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el único punto crítico o punto que anula a la derivada primera es   x = 0. Observamos que la función cambia su monotonía en dicho punto (pasa de ser creciente a ser decreciente), por lo que  x = 0  es un máximo relativo de la función.


selectividad representa graficamente

Calcula para la siguiente función:

estudio de una funcion

a) Su dominio, corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.
b) Sus asíntotas.
c) Representación gráfica.


Tipo de función

Función racional.

Dominio

Al tratarse de una función racional tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador para hallar el dominio.

Observamos que  x2 + x + 1 > 0 , es decir, no existe ningún valor real que anule al denominador. Por tanto:

      Dom(f) = R

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        puntos de corte con los ejes

        El punto de corte es:   (-8/5 , 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        puntos de corte con los ejes

        El punto de corte es:   (0, 8)

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia de una funcion

monotonia de una funcion

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -3) ,    (-3, -1/5) ,    (-1/5, +∞)

Intervalo (-∞, -3) (-3, -1/5) (-1/5, +∞)
Punto de prueba f ' (-4) < 0 f ' (-1) > 0 f ' (0) < 0
Signo de f ' (x) - + -
Monotonía Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = - 3    y    x = -1/5 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

   •   x = - 3 :   la función decrece en   (-∞ , -3)   y crece en  (-3 , -1/5) ,  por tanto  tiene que ser un mínimo relativo.

   •   x = -1/5 :   la función crece en (-3 , -1/5) y decrece en   (-1/5 , +∞) ,  por tanto  tiene que ser un máximo relativo.


Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador.

Pero hemos visto anteriormente que el denominador no se anula para ningún valor real, por tanto, la función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintotas horizontales

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintotas horizontales

posicion relativa asintotas

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


representacion grafica