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Ejercicios de representación de funciones trigonométricas    II

Representa las siguientes funciones trigonométricas:

1)   y = sen x cos x

2)   y = x - 2 sen x

3)   y = 2 cos x - cos 2x

4)   y = 3 sen x  -  sen 3x

representacion grafica de una funcion

6)    f(x) = ex sen x

7)   f(x) = x - arc tg x

8)   y = sen2 x

selectividad representa graficamente

10)   y = cos2x + cos x





Funciones trigonométricas: periodo, amplitud, asíntotas verticales, dominio e imagen.

  Periodo Amplitud

Asintotas verticales

Dominio Imagen
y = sen x 1 No tiene R { y∈R  |  -1 ≤ y ≤ 1 }
y = cos x 1 No tiene R { y∈R  |  -1 ≤ y ≤ 1 }
y = tg x π   π/2 (2k + 1)   ,  k∈Z { x∈R |  x ≠ π/2 (2k + 1)  } R
y = cotg x π   k·π     ,  k∈Z { x∈R |  x ≠k·π  } R
y = sec x   π/2 (2k + 1)   ,  k∈Z { x∈R |  x ≠ π/2 (2k + 1)  } { y∈R  | y ≤ -1   ó    y ≥ 1 }
y = cosec x   k π     ,  k∈Z { x∈R |  x ≠k·π  } { y∈R  | y ≤ -1   ó    y ≥ 1 }

Representa gráficamente la función:   y = sen x cos x

Aplicando la fórmula trigonométrica del ángulo doble tenemos que:

            formula angulo doble

Tipo de función

Función trigonométrica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) :  [-1/2 , 1/2]

Periodicidad

La función seno es periódica de periodo 2π, luego:

periodicidad seno

Luego nuestra función es periódica de periodo   π .

Por tanto, haremos el estudio de la función en el intervalo:     [0 , π)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en todo su dominio.

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

puntos de corte seno

Puntos de corte con el eje X:

puntos de corte seno

puntos de corte seno

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje   OX   son   x = π/2   y   x = 0   ,  y el período de la función es   [0 , π ) , estudiaremos el signo en los intervalos:     (0, π/2)    ,    (π/2 , π)

Intervalo  (0, π/2) (π/2 , π)
Punto de prueba f(π/4) > 0 f(2π/3) < 0
Signo de f (x) + -

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria seno

sen(-x) = - sen x

Asíntotas

No tiene asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '(x) = 1/2 · 2 · cos (2x) = cos (2x) = 0      ⇔      2x = π/2      ó       2x = 3π/2     ⇔      x = π/4    ó     x = 3π/4

Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función:    (0, π/4)   ,   (π/4, 3π/4)   ,   (3π/4, π)

Intervalo (0 , π/4) (π/4 , 3π/4) (3π/4 , π)
Punto de prueba f ' ( π/6) > 0 f ' (π/2) < 0 f ' (7 π/8) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = π/4    y   x = 3π/4 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = 2 (- sen 2x) = - 2 sen(2x)

   •   f '' ( π/4) = - 2 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = π/4   ⇒   f(π/4) = 1/2   ⇒   Max (π/4, 1/2)

   •   f '' (3π/4) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 3π/4   ⇒   f(3π/4) = - 1/2   ⇒   Min (3π/4, -1/2)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f '' (x) = - 2 sen(2x) = 0      ⇒      sen(2x) = 0      ⇒     2x = 0    ó    2x = π      ⇒     x = 0   ,   x = π/2

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, π/2) ,   ( π/2, π)

Intervalo (0, π/2) ( π/2, π)
Punto de prueba f '' ( π/4) < 0 f '' ( 3π/4) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en    ( π/2, π)   y cóncava hacia abajo o convexa en    (0, π/2) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = 0   ,   x = π/2   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f ''' (x) = - 2·2·cos (2x) = - 4 cos (2x)

f ''' (0) = - 4 ≠ 0   ⇒   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0, 0)

f ''' (π/2) = 4 ≠ 0   ⇒   x = π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(π/2) = 0   ⇒   Punto inflexión ( π/2, 0)


sen x cos x

Representar gráficamente la función   f(x) = x - 2 sen x  en el intervalo   - π < x < π ,  determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos), crecimiento, decrecimiento , curvatura y puntos de inflexión.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f ' (x) = 1 - 2 cos x= 0     ⇒   cos (x) = 1/2     ⇒     x = π/3   ,   x = -π/3

Tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos:    (-π , -π/3) ,    (/3, π/3)   ,   (π/3 , π)

Intervalo (-π , -π/3) (/3, π/3) (π/3 , π)
Punto de prueba f ' ( /2) > 0 f ' (0) < 0 f ' (π/2) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = π/3   y   x = -π/3 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = 2 sen x

   •   f '' (π/3) = √3 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = π/3   ⇒   f(π/3) = π/3 - √3   ⇒   Min (π/3 ,  π/3 - √3)

   •   f '' (-π/3) = -√3 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x =-π/3   ⇒   f(-π/3) = -π/3 - √3   ⇒   Min (-π/3 ,  -π/3 + √3)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 2 sen x = 0      ⇒      x = 0

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-π, 0) ,   ( 0, π)

Intervalo (-π 0) ( π)
Punto de prueba f '' (- π/2) < 0 f '' ( π/2) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en    ( 0, π)   y concava hacia abajo o convexa en    (-π , 0) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el único punto que anula a la derivada segunda es   x = 0   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

f ''' (x) = 2 cos x

f ''' (0) = 2 ≠ 0   ⇒   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión ( 0, 0)

representacion grafica

Representa gráficamente la función:   y = 2 cos x - cos 2x

Tipo de función

Función trigonométrica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) : [ -3 , 3/2 ]

Periodicidad

La función coseno es periódica de periodo  2π , la función  cos (2x)  es periódica de periodo  π .

La función diferencia  y = 2 cos x - cos 2x  es periódica con periodo  2π .

Estudiamos la función en el intervalo   [0 , 2π] .

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en todo su dominio.

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

Si   x = 0      ⇒      y = 2 cos 0 - cos 0 = 2·1 - 1 = 1      ⇒      (0 , 1)

Puntos de corte con el eje X:

Si   y = 0      ⇒      2 cos x - cos 2x = 0

Aplicamos la fórmula de reducción de la potencia del coseno:

formula doble angulo coseno

2 cos x - cos 2x = 0      ⇒      2 cos x - ( 2cos2x - 1 ) = 0      ⇒      2cos2 x - 2 cos x - 1 = 0

O bien aplicamos la fórmula del coseno del ángulo doble:

cos 2x = cos2 x  -  sen2 x

2 cos x - cos 2x = 0      ⇒      2 cos x - (cos2 x - sen2 x) = 0      ⇒      2 cos x - cos2 x + sen2 x = 0

2 cos x - cos2 x + (1 - cos2 x ) = 0      ⇒      2 cos x - cos2x + 1 - cos2 x = 0      ⇒      2 cos2 x - 2 cos x - 1 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado (ahora la incógnita es  'cos x' ) :

puntos de corte coseno

La primera solución la descartamos, ya que el coseno nunca puede ser mayor que 1. Nos quedamos con la segunda solución y aplicamos la función inversa del coseno:

cos x = - 0,66      ⇒      x = arc sen (-0,66)      ⇒      x = 2,29      ⇒      (2,29 , 0)

x = 2,29 + π = 5,43

Los puntos de corte con el eje OX en el primer periodo son:      (2,29 , 0)  ,  (5,43 , 0)

Simetrías

Sabemos que la función coseno es par, es decir, cos(-x) = cos (x). Por tanto nuestra función tiene simetría par.

f(-x) = 2 cos (-x) - cos(-2x) = 2 cos x - cos (2x) = f(x)

Como la función es par, bastará con estudiarla en el intervalo  [0 , ] .

Intervalos de signo constante

Como el punto de corte con el eje OX es   x = 2,29  ,  x = 5,43   ,  y el período de la función es   [0 , 2π] , estudiaremos el signo en los intervalos:     (0, 2,29)    ,    (2,29   ,  5,43)   ,   (5,43   , 2π)

Intervalo  (0,  2,29) (2,29   ,  5,43) (5,43   , 2π)
Punto de prueba f(π/2) > 0 f(π) < 0 f(3π/2) > 0
Signo de f (x) + - +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Asíntotas

No tiene asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

derivada coseno

Aplicamos la fórmula del seno del ángulo doble:      sen 2x = 2 sen x  cos x

- sen x + sen 2x = 0      ⇒      - sen x + 2 sen x cos x = 0      ⇒      sen x ( - 1 + 2 cos x) = 0

La ecuación será  0  si:      sen x = 0      ó      - 1 + 2 cos x = 0

             sen x = 0      ⇒      x = 0    ,    x = π   ,    x = 2π

             - 1 + 2 cos x = 0      ⇒       cos x = 1/2      ⇒       x = π/3   ,   x = - π/3 = 2π/3 + π/6 = 5π/3

Estudiaremos la monontonía en los intervalos:      (0 , π/3)     ,     (π/3 , π)   ,    (π , 5π/3)   ,    (5π/3 , 2π)

Intervalo (0 , π/3) (π/3 , π) (π , 5π/3) (5π/3 , )
Punto de prueba f ' ( π/4) > 0 f ' (/4) < 0 f ' (/6) > 0 f ' (11π/6) < 0
Signo de f ' (x) + - + -
Monotonía Crece Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 0   ,    x = π/3   ,   x = π   ,   x = 5π/3   y   x = 2π  vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = - 2 cos x + 4 cos 2x

   •   f '' ( 0) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x =0   ⇒   f(0) = 1   ⇒   Min (0, 1)

   •   f '' (π/3) = - 3 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = π/3   ⇒   f(π/3) = 3/2   ⇒   Max (π/3, 3/2)

   •   f '' ( π) = 6 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = π   ⇒   f(π) = - 3   ⇒   Max (π, - 3)

   •   f '' (5π/3) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 5π/3   ⇒   f(5π/3) = 3/2   ⇒   Max (/3, 3/2)

   •   f '' (2π) = 6 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 2π   ⇒   f(2π) = 1   ⇒   Max (2π, 1)

grafica diferencia de cosenos

Representa gráficamente la función:   y = 3 sen x  -  sen 3x

Tipo de función

Función trigonométrica.

Dominio

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) :

         Por un lado:               - 1 ≤ sen 3x ≤ 1

         Multiplicamos por -1 :    1 - sen 3x 1

         Reordenamos :           -1 ≤ - sen 3x ≤ 1

         Por otro:                      - 1 ≤ sen x ≤ 1

         Multiplicamos por 3 :    - 3 ≤ 3 sen x ≤ 3

Sumamos ambos resultados:

suma desigualdades

Im(f) = [-4 , 4]

Periodicidad

La función seno es periódica de periodo 2π , luego:

sen (x) = sen (x + 2π) = sen (x + 4π) = sen (x + 6π) = ...

Por tanto:

f(x) = 3 sen x - sen 3x = 3 sen (x + 2π) - sen (3x + 6π) = 3 sen (x + 2π) - sen [3(x + 2π)] = f(x + )

Luego nuestra función es periódica de periodo   .

Por tanto, haremos el estudio de la función en el intervalo:     [0 , 2π]

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en todo su dominio.

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

Si  x = 0     ⇒      f(0) = 3 sen 0 - sen 0 = 0      ⇒      (0 , 0)

Puntos de corte con el eje X:

Si  y = 0     ⇒      0 = 3 sen x - sen 3x


Vamos a encontrar una fórmula para   sen 3x :

Como:    3x = x + 2x
Para calcular   sen 3x   aplicamos la fórmula del seno de una suma de ángulos:    
sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y

sen 3x = sen (x + 2x) = sen x cos 2x + cos x sen 2x

Aplicamos las fórmulas del seno y del coseno del ángulo doble:
cos 2x = cos2x - sen2x      ,      sen 2x = 2 sen x cos x

sen 3x = sen x cos 2x + cos x sen 2x = sen x [cos2x - sen2x] + cos x [2 sen x cos x] =
               = sen x cos2 x - sen3 x + 2 sen x cos2x = 3 sen x cos2x - sen3x


Luego:      sen 3x = 3 sen x cos2x - sen3x

Ahora sustituimos en nuestra ecuación y simplificamos:

3 sen x - sen 3x = 0      ⇒      3 sen x - [ 3 sen x cos2x - sen3x ] = 0

3 sen x - 3 sen x cos2x + sen3x = 0      ⇒      sen x [ 3 - 3 cos2x + sen2x ] = 0

sen x [ 3 - 3 (1 - sen2x) + sen2x ] = 0      ⇒      sen x [ 3 - 3 + 3 sen2x + sen2x ] = 0

sen x [ 4 sen2x ] = 0      ⇒      4 sen3x = 0

Resolvemos la ecuación:

4 sen3x = 0    ⇒      sen x = 0      ⇒      x = 0   ,   x = π   ,   x = 2π

Luego los puntos de corte con el eje OX son:   (0 , 0)   ,   (π , 0)   ,   (2π , 0)

Simetrías

f(-x) = 3 sen(-x) - sen (-3x) = - 3 sen x - (- sen 3x) = - 3 sen x + sen 3x = - f(x)

sen(-x) = - sen x

La función tiene simetría impar.

Asíntotas

No tiene asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '(x) = 3 cos x - 3 cos 3x

f ' (x) = 3 cos x - 3 cos 3x = 0      ⇒      3 cos x = 3 cos 3x      ⇒      cos x = cos 3x

Dos ángulos α y β tendrán el mismo coseno si están los cuadrantes:

•   primero y cuarto:        α = β + 2kπ     ,   k∈Z

•   segundo y tercero:     α = - β + 2kπ   ,   k∈Z

En nuestro caso:

•   3x = x + 2kπ   ,  k∈Z      ⇒      2x = 2kπ   ,  k∈Z      ⇒      x = kπ   ,  k∈Z

•   3x = - x + 2kπ   ,  k∈Z      ⇒      4x = 2kπ   ,  k∈Z      ⇒      x = kπ/2   ,  k∈Z

Veamos qué puntos están dentro del primer periodo de la función [0 , 2π] :

•   k = 0  :      x = 0

•   k = 1  :      x = π   ,   x = π/2

•   k = 2  :      x = 2π   ,   x = π

•   k = 3  :      x = 3π   ,   x = 3π/2

Por tanto, los puntos que anulan la primera derivada son:    
x = 0  ,   x = π/2   ,   x = π  ,   x = 3π/2  ,   x = 2π

Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función:   
 (0, π/2)   ,   (π/2, π)   ,   (π, 3π/2)  ,   (3π/2 , 2π)

Intervalo (0, π/2) (π/2, π) (π, 3π/2) (3π/2 , 2π)
Punto de prueba f ' ( π/4) > 0 f ' (/4) < 0 f ' (5π/4) < 0 f ' (7 π/4) > 0
Signo de f ' (x) + - - +
Monotonía Crece Decrece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 0  ,   x = π/2   ,   x = π  ,   x = 3π/2  ,   x = 2π ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = - 3 sen x + 9 sen 3x

   •   f '' (0) = 0    ⇒   no es ni máximo ni mínimo

   •   f '' (π/2) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = π/2   ⇒   f(π/2) = 4   ⇒   Max (π/2, 4)

   •   f '' (π) = 0   ⇒   no es ni máximo ni mínimo

   •   f '' (3π/2) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 3π/2   ⇒   f(3π/2) = - 4   ⇒   Min (3π/2, -4)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f '' (x) = - 3 sen x + 9 sen 3x = 0     ⇒     9 sen 3x = 3 sen x     ⇒     3 sen 3x = sen x     ⇒    sen x - 3 sen 3x = 0


Anteriormente obtuvimos la fórmula del seno del ángulo triple:
sen 3x = 3 sen x cos2x - sen3x

Sustituimos en nuestra ecuación y simplificamos:

sen x - 3 sen 3x = 0      ⇒     sen x - 3 [ 3 sen x cos2x - sen3x ] = 0

sen x - 9 sen x cos2x + 3 sen3x = 0      ⇒     sen x [ 1 - 9 cos2x + 3 sen2x ] = 0

sen x [ 1 - 9 cos2x + 3 ( 1 - cos2x ) ] = 0      ⇒     sen x [ 1 - 9 cos2x + 3 - 3 cos2x ] = 0

sen x [ 4 - 12 cos2x ] = 0      ⇒     4 sen x [ 1 - 3 cos2x ] = 0

La ecuación será 0 cuando cualquiera de los factores sea 0:

sen x = 0      ⇒      x = 0   ,   x = π   ,   x = 2π

ecuacion trigonometrica

Las soluciones del arcocoseno son:   x = 0,95      x = 2,18     x = 4,10     x = 5,32

angulos coseno

Puntos de inflexion para   sen x = 0:

(0 , 0)   ,   (π , 0)   ,   (2π , 0)

Puntos de inflexión para   1 - 3cos2x = 0  :

(0,95 , 2,218)   ,   (2,18 , 2,18)   ,   (4,10 , -2,18)   ,   (5,32 , -2,18)


Los puntos obtenidos anulan a la segunda derivada , y no anulan a la derivada tercera de la función, por tanto, son puntos de inflexión.

selectividad representacion grafica

Dada la siguiente función, calcular su dominio de definición, los puntos de corte con los ejes, sus intervalos de signo constante, sus máximos, mínimos y sus puntos de inflexión en el intervalo   [0 , 2π] .

representacion grafica de una funcion


Dominio

La función estará bien definida en todo  R  menos aquellos puntos que anulen al denominador:

2 - cos x = 0      ⇔      cos x = 2   ,  pero sabemos que - 1 < cos x < 1      ⇒      cos x ≠ 2 para todo x ∈ R

Como no existe ningún valor de x que anule al denominador, el dominio es todo R:

                Dom(f) = R = (-∞, +∞)

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con el eje X:

puntos de corte

Luego los puntos son:      (0 , 0)   ,   (π , 0)   ,   (2π , 0)

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje OX son   x = 0 ,  x = π  ,  x = 2π  ,  y tenemos que estudiar la función  en el intervalo  [0 , 2π] ,  estudiaremos el signo en los intervalos:     (0, π)    ,    (π , 2π)

Intervalo (0, π) (π , 2π)
Punto de prueba f(π/2) > 0 f(/2) < 0
Signo de f (x) + -

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

monotonia funcion

Para simplificar el resultado hemos aplicado la ecuación fundamental de la trigonometría:

sen2 x  +  cos2 x = 1      ⇒      - sen2 x  -  cos2 x = - 1

Resolvemos la ecuación para los  x ∈ [0 , 2π] :

monotonia funcion

Tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos:    (0, π/3) ,    (π/3 , 5π/3) ,    (/3 , 2π)

Intervalo (0, π/3) (π/3 , 5π/3) (/3 , 2π)
Punto de prueba f ' ( π/4) > 0 f ' (π) < 0 f ' (/4) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = π/3    y   x = 5π/3  ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

maximos y minimos de una funcion

   •   f '' (π/3) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = π/3   ⇒   f(π/3) = √3/3   ⇒   Max (π/3, √3/3)

   •   f '' (5π/3) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 5π/3   ⇒   f(5π/3) = - √3/3   ⇒   Min (5π/3, - √3/3)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

curvatura de una funcion

⇒      sen x = 0      ⇒      x = 0   ,   x = π   ,   x = 2π

⇒      1 + cos x = 0      cos x = - 1      ⇒      x = π

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, π)    ,   (π , 2π):

Intervalo (0, π) (π , 2π)
Punto de prueba f '' ( π/2) < 0 f '' (3π/2) < 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Cóncava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en    (π , 2π)   y cóncava hacia abajo o convexa en    (0, π) .

Puntos de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = 0   ,   x = π   ,   x = 2π    y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

puntos de inflexion

f ''' (0) ≠ 0   ⇒   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0 , 0)

f ''' (π) ≠ 0   ⇒   x = π   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(π) = 0   ⇒   Punto inflexión (π, 0)

f ''' () ≠ 0   ⇒   x =    es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f() = 0   ⇒   Punto inflexión (, 0)


representacion grafica

Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función dada por la ecuación   f(x) = ex sen x   en el intervalo  [0 , 2π] .

Seguiremos los siguientes puntos:

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f ' (x) = ex sen x  +  ex cos x = ex (sen x + cos x) = 0      ⇒      sen x + cos x = 0   (ex ≠ 0  para todo   x∈R)

Resolvemos la ecuación para los  x ∈ [0 , 2π] :

sen x + cos x = 0      ⇒      sen x = - cos x      ⇒      x = 3π/4   ,   x = 7π/4

Tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos:    (0, 3π/4) ,    (/4 , 7π/4) ,    (/4 , 2π)

Intervalo (0, 3π/4) (/4 , 7π/4) (/4 , 2π)
Punto de prueba f ' ( π/4) > 0 f ' (π) < 0 f ' (11π/6) > 0
Signo de f ' (x) + - +
Monotonía Crece Decrece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 3π/4    y   x = 7π/4  ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

f '' (x) = ex(sen x + cos x)  +  ex(cos x - sen x) = ex (sen x + cos x + cos x - sen x) = 2 ex cos x

   •   f '' (3π/4) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x =3π/4   ⇒   f3π/4) = e3π/4 √2/2  ⇒   Max (3π/4 , e3π/4 √2/2)

   •   f '' (7π/4) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 7π/4   ⇒   f(7π/4) = - e3π/4 √2/2   ⇒   Min (7π/4 , - e3π/4 √2/2 )

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 2 ex cos x = 0      ⇒      cos x = 0    ,   (ex≠0  para todo x ∈ R)      ⇒      x = π/2   ,   x = 3π/2

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, π/2)    ,   ( π/2, 3π/2)  ,   (/2, 2π)

Intervalo (0, π/2) ( π/2, 3π/2) (/2, 2π)
Punto de prueba f '' ( π/4) > 0 f '' (π) < 0 f '' (7π/4) > 0
Signo de f '' (x) + - +
Curvatura Cóncava (∪) Convexa (∩) Cóncava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en    (0, π/2)∪ (/2, 2π)   y cóncava hacia abajo o convexa en    ( π/2, 3π/2) .

Puntos de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = π/2  ,  x = 3π/2    y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f ''' (x) = 2 ex cos x + 2 ex (- sen x) = 2 ex (cos x - sen x)

f ''' (π/2) ≠ 0   ⇒   x = π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(π/2) = eπ/2   ⇒   Punto inflexión (π/2, eπ/2)

f ''' (3π/2) ≠ 0   ⇒   x =3π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(3π/2) = - eπ/2  ⇒   Punto inflexión (3π/2 , - eπ/2)


representacion grafica

Representa gráficamente la curva   f(x) = x - arc tg x   determinando el dominio de la función, simetrías, asíntotas, máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Tipo de función

Función trigonométrica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) :  R = (-∞, +∞)

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

Si   x = 0     ⇒      y = 0 - arc tg 0 = 0      ⇒      (0 , 0)

Puntos de corte con el eje X:

Si   y = 0      ⇒      x - arc tg x = 0      ⇒      x = arc tg x      ⇒      x = 0      ⇒      (0 , 0)

Simetrías

f(-x) = - x - arc tg (-x) = - x  -  (- arc tg x) = - x + arc tg x = - f(x)      ⇒      tiene simetría impar

Luego la función es simétrica respecto al eje OX.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

La función no tiene asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Observamos que:

asíntotas arcotangente

asintotas horizontales

   •   Asíntotas oblicuas

asintotas oblicuas

asintotas oblicuas

Por tanto, la función tiene dos asíntotas oblicuas que son:

asintotas oblicuas

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

monotonia de una funcion

monotonia funcion

Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función:    (-∞, 0)   ,   (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f ' ( - √3) > 0 f ' (√3) > 0
Signo de f ' (x) + +
Monotonía Crece Crece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que el punto crítitco o punto que anula a la derivada primera es   x = 0 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se trata de máximo o mínimo.

Hallamos la derivada segunda:

monotonia funcion

   •   f '' (0) = 0    ⇒   el punto  x = 0  no es máximo ni mínimo

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f '' (0) = 0      ⇒      x = 0 puede ser un punto de inflexión

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, 0)   ,   (0, +∞)

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f '' ( -1) < 0 f '' ( 1) > 0
Signo de f '' (x) - +
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en    (0, +∞)   y cóncava hacia abajo o convexa en    (-∞, 0) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

puntos de inflexion

f ''' (0) = 2 ≠ 0   ⇒   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0, 0)

representa graficamente

Representa gráficamente la función:   y = sen2 x

Tipo de función

Función trigonométrica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) :  Calcularemos su imagen o recorrido a través de su función invesa

            y = sen2(x)     ⇒     ±√y = sen(x)     ⇒     arcsen(±√y) = x

Intercambiamos las variables y estudiamos el dominio de la nueva función:     y = arcsen(±√x)

      •   El dominio de la función arc sen(x) es:     [-1 , 1]

      •   La raíz cuadrada está bien definida sólo en los números positivos:     [0 , ∞)

Por tanto, su dominio es:     [-1 , 1] ∩ [0 ,∞) = [0 , 1]

O lo que es lo mismo, la imagen de nuestra función es:     Im(f) = [0 , 1]


Periodicidad

Vamos a escribir f(x) de otra forma equivalente que nos permita calcular su período.

Usaremos la fórmula del coseno del ángulo doble:      cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)

Y también:      1 = cos2(x) + sen2(x)


cos(2x) = cos2(x) - sen2(x)     ⇔     cos(2x) = (1 - sen2(x) ) - sen2(x)     ⇔     cos(2x) = 1 - 2sen2(x)     ⇔

⇔     2sen2(x) = 1 - cos(2x)     ⇔     sen2(x) = (1 - cos(2x) )/2

Ahora sí sabemos calcular su período teniendo en cuenta que el período de la función coseno es 2π :

período seno cuadrado

El período de f(x) es  T = π .

Por tanto haremos el estudio de la función en el intervalo:      [0 , π )

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real R por ser una función trigonométrica.

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

Si   x = 0     ⇒     y = sen2(0)     ⇒     y = 0     ⇒     (0 , 0)


Puntos de corte con el eje X:

Si   y = 0     ⇒     0 = sen2(x)     ⇒     0 = ± sen(x)     ⇒     x = 0    ó    x = π


Luego los puntos de corte con el eje X son:         (0 , 0)    ,    (π , 0)


Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje   OX   son   x = 0   y   x = π , y el período de la función es   [0 , π ) , estudiaremos el signo en el intervalo:     (0, π)

Intervalo (0, π)
Punto de prueba f(π/2) > 0
Signo de f (x) +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

f(- x) = sen2(-x) = (- sen(x))2 = sen2 x = f(x)   ⇒   Tiene simetría par.

sen (-x) = - sen x

Asíntotas

No tiene asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f ' (x) = 2 sen (x) cos (x)= 0   ⇒   2 sen (x) cos (x) = 0

La ecuación será igual a   0   cuando   sen(x)= 0    ó    cos(x) = 0

sen (x) = 0      ⇔      x = 0   ,   x = π

cos(x) = 0      ⇔      x = π/2

Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función:    (0, π/2) ,    (π/2, π)

Intervalo (0 , π/2) (π/2 , π)
Punto de prueba f ' ( π/3) > 0 f ' (/4) < 0
Signo de f ' (x) + -
Monotonía Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 0   ,   x = π    y   x = π/2 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = 2( cos(x) cos(x) - sen(x) sen(x) ) = 2( cos2x - sen2x )

   •   f '' (0) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 0   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Min (0, 0)

   •   f '' (π) = 2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = π   ⇒   f(π) = 0   ⇒   Min (π, 0)

   •   f '' (π/2) = -2 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = π/2   ⇒   f(π/2) = 1   ⇒   Min (π/2, 1)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = 2( cos2x - sen2x ) = 0      ⇒      cos2x = sen2x      ⇒      cos x = sen x      ⇒      x = π/4   ,   x = π/4 + π/2 = /4

Por tanto, los puntos que anulan la ecuación son:    x = π/4   ,   x = /4

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, π/4) ,   ( π/4, 3π/4)   ,   (3π/4 , π):

Intervalo (0, π/4) ( π/4, 3π/4) (3π/4 , π)
Punto de prueba f '' ( π/6) > 0 f '' ( π/2) < 0 f '' (/3) > 0
Signo de f '' (x) + - +
Curvatura Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en    (0, π/4) ∪ (3π/4 , π)   y concava hacia abajo o convexa en el intervalo   ( π/4, 3π/4) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = π/4   ,   x = 3π/4   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f ''' (x) = 2[ - 2cos(x)sen(x) - 2sen(x)cos(x) ] = 2[ - 4cos(x)sen(x) ] = - 8cos(x)sen(x)

f ''' (π/4) = - 4 ≠ 0   ⇒   x = π/4   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(π/4) = 1/2   ⇒   Punto inflexión ( π/4, 1/2)

f ''' (3π/4) = 4 ≠ 0   ⇒   x = 3π/4   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(3π/4) = 1/2   ⇒   Punto inflexión (3π/4, 1/2)


representacion seno

Representa gráficamente la función:

selectividad representa graficamente

Tipo de función

Función trigonométrica.

Dominio y rango o recorrido

   •   Dom(f) = R = (-∞, +∞)

   •   Im(f) = [0 , 1]

       Sabemos que:                 - 1 ≤ cos (x/2) ≤ 1

       Elevando al cuadrado:      0 ≤ cos2(x/2) ≤ 1

Periodicidad

Vamos a calcular primero la periodicidad de la función:    f(x) = cos2(x)

f(x) = cos2 x = (cos x )2 = (- cos x)2

Podemos relacionar el coseno del primer cuadrante con el del segundo cuadrante así:
 - cos x = cos (x + π)

f(x) = cos2 x = (- cos x)2 = (cos (x + π) )2 = cos2 (x + π) = f(x + π)

Veamos ahora el periodo de la función que nos piden teniendo en cuenta que el periodo de  cos2(x)  es  π :

periodo coseno cuadrado

Por tanto haremos el estudio de la función en el intervalo:      [0 , 2π )

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en toda la recta real R por ser una función trigonométrica.

Puntos de corte con los ejes

Calculamos los puntos de corte que hayan dentro del primer período de nuestra función.

Puntos de corte con el eje Y:

Si   x = 0     ⇒     y = cos2 0 = 1

Luego los puntos de corte con el eje Y son:      (0 , 1)

Puntos de corte con el eje X:

Si   y = 0     ⇒     0 = cos2(x/2)      ⇒     0 = cos(x/2)      ⇒      x/2 = π/2 + kπ   k∈Z      ⇒      x = π + 2kπ   k∈Z

Los puntos que pertenecen al primer periodo de la función   [0 , 2π):


Simetrías

Sabemos que la función coseno tiene simetría par:      cos (-x) = cos (x)

Entonces:

f(- x) = cos2(- x/2) = cos2(x/2) = f(x)   ⇒   Tiene simetría par.

Asíntotas

No tiene asíntotas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

derivada coseno cuadrado

Para simplificar la derivada hemos usado la fórmula del ángulo doble:       2 sen x cos x = sen 2x
formula angulo doble

Igualamos la primera derivada a 0:

monotonia coseno cuadrado

Los puntos del primer periodo de la función   [0 , 2π)    que anulan a la primera derivada son:

•   k = 0  :      x = 0·π = 0

•   k = 1  :      x = 1·π = π

Estudiaremos sólo aquellos puntos que estén dentro del período de la función:    (0 , π)   ,   (π , 2π)

Intervalo (0 , π) (π , 2π)
Punto de prueba f ' ( π/2) < 0 f ' (3π/2) > 0
Signo de f ' (x) - +
Monotonía Decrece C rece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 0   y   x = π ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:   f '' (x) = - 1/2 cos x

   •   f '' (0) = - 1/2 < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 0   ⇒   f(0) = 1   ⇒   Max (0, 1)

   •   f '' (π) = 1/2 > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x =π   ⇒   f(π) = 0   ⇒   Min (π, 0)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

f '' (x) = - 1/2 cos x = 0      ⇒      cos x = 0      ⇒      x = π/2 + kπ   k∈Z

Veamos qué puntos están dentro del primer periodo de la función [0 , 2π) :

•   k = 0  :      x = π/2 + 0 = π/2

•   k = 1  :      x = π/2 + π = 3π/2

Por tanto, los puntos que anulan la segunda derivada son:    x = π/2   ,   x =3π/2

Tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (0, π/2) ,   ( π/2, 3π/2)   ,   (3π/2 , )

Intervalo (0, π/2) ( π/2, 3π/2) (3π/2 , )
Punto de prueba f '' ( π/4) < 0 f '' ( π) > 0 f '' (/4) < 0
Signo de f '' (x) - + -
Curvatura Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩)

La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en    ( π/2, 3π/2)   y concava hacia abajo o convexa en el intervalo  (0, π/2) ∪ (3π/2 , ) .

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son   x = π/2   ,   x = 3π/2   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.

f ''' (x) = - 1/2 ( - sen x ) = 1/2 sen x

f ''' (π/2) = 1/2 ≠ 0   ⇒   x = π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(π/2) = 1/2   ⇒   Punto inflexión ( π/2, 1/2)

f ''' (3π/2) = -1/2 ≠ 0   ⇒   x = 3π/2   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(3π/2) = 1/2   ⇒   Punto inflexión (3π/2, 1/2)


selectividad representacion grafica

a)   Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función   y = cos2x + cos x   en el intervalo  [0 , 2π] .

b)   Encontrar los extremos relativos y absolutos de dicha función.

a)   Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función   y = cos2x + cos x   en el intervalo  [0 , 2π] .

Se halla la derivada primera, se iguala a   0   y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:

f ' (x) = 2 cos x (- sen x) + (- sen x) = - 2 cos x sen x - sen x = - sen x (2 cos x + 1) = 0

Resolvemos la ecuación para los  x ∈ [0 , 2π] :

⇒      sen x = 0      ⇒      x = 0   ,   x = π   ,   x = 2π

⇒      2 cos x + 1 = 0      ⇒      cos x = - 1/2      ⇒      x = 2π/3   ,   x = 4π/3

Tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos:    (0, 2π/3) ,    (2π/3 , π)   ,   (π , 4π/3)   ,   (4π/3 , 2π)

Intervalo (0, 2π/3) (2π/3 , π) (π , 4π/3) (4π/3 , 2π)
Punto de prueba f ' ( π/2) < 0 f ' (/4) > 0 f ' (/4) < 0 f ' (/2) > 0
Signo de f ' (x) - + - +
Monotonía Decrece Crece Decrece Crece

b)   Encontrar los extremos relativos y absolutos de dicha función.

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son   x = 0   ,   x = 2π/3   ,   x = π  ,   x = 4π/3   y   x = 2π  ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

f '' (x) = (- cos x) (2 cos x + 1) + (- sen x)(- 2 sen x) = - 4 cos2x - cos x + 2

   •   f '' (0) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = 0   ⇒   f(0) = 2  ⇒   Max (0 , 2)

   •   f '' (2π/3) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 2π/3   ⇒   f(2π/3) = -1/4   ⇒   Min (2π/3 , -1/4 )

   •   f '' (π) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x =π   ⇒   f(π) =0  ⇒   Max (π , 0)

   •   f '' (4π/3) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 4π/3   ⇒   f(4π/3) = -1/4   ⇒   Min (4π/3 , -1/4 )


monotonia de una funcion