Estudio completo de funciones. Ejercicios resueltos.
Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:
1) Tipo de función.
2) Dominio.
3) Recorrido o imagen.
4) Continuidad.
5) Periodicidad.
6) Simetrías.
7) Asíntotas.
8) Corte con los ejes.
9) Monotonía.
10) Máximos y mínimos relativos.
11) Curvatura y puntos de inflexión.
12) Acotación.
1) Tipo de función: es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Es una parábola.
2) Dominio: como es una función polinómica, Dom(f) = R.
3) Recorrido o imagen: Im(f) = [0 , ∞)
4) Continuidad: es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.
5) Periodicidad: no es periódica.
6) Simetría:
f(-x) = 4(-x)2 - 4x + 1 = 4x2 - 4x + 1
f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par.
f(-x) ≠ - f(x) , por lo que no tiene simetría impar.
La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.
7) Asíntotas: no tiene asíntotas.
8) Corte con los ejes:
• x = 0: y = 4x2 + 4x + 1 ⇒ y = 1 ⇒ A = (0 , 1)
• y = 0: 4x2 + 4x + 1 = 0
B = (-1/2 ,0)
Signo: es positiva en todo R.
9) Monotonía:
• Creciente en: (-1/2 , ∞)
• Decreciente en: (-∞ , -1/2)
10) Máximos y mínimos relativos: tiene un mínimo relativo en el punto (-1/2 , 0).
11) Curvatura y puntos de inflexión:
Es una función cóncava en todo R.
No tiene puntos de inflexión.
12) Acotación:
Por la gráfica, vemos que f no tiene cotas superiores.
Observando la gráfica vemos que las cotas inferiores de la función son: (-∞ , 0].
De todas las cotas inferiores, la más grande es y = 0 , por lo que inf(f) = 0.
Como 0 ∈ Im(f) , tenemos que y = 0 es el mínimo absoluto de la función.
La función f no está acotada, ya que sólo está acotada inferiormente.
Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:
1) Tipo de función.
2) Dominio.
3) Recorrido o imagen.
4) Continuidad.
5) Periodicidad.
6) Simetrías.
7) Asíntotas.
8) Corte con los ejes.
9) Monotonía.
10) Máximos y mínimos relativos.
11) Curvatura y puntos de inflexión.
12) Acotación.
1) Tipo de función: es una función polinómica de grado 3, es decir, es una función cúbica.
2) Dominio: Dom(f) = R
3) Recorrido o imagen: Im(f) = R
4) Continuidad: es continua en todo R, es decir, la función está bien definida para todo valor real.
5) Periodicidad: no es periódica.
6) Simetrías:
f(-x) = (-x)3 + 3x + 2 = - x3 + 3x + 2
f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par.
f(-x) ≠ - f(x) , por lo que no tiene simetría impar.
La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.
7) Asíntotas: no tiene asíntotas.
8) Corte con los ejes:
• x = 0: y = x3 - 3x + 2 ⇒ y = 2 ⇒ A = (0 , 2)
• y = 0: x3 - 3x + 2 = 0
Calculamos las raíces por el método de Ruffini: los divisores del término independiente son ±1 , ±2.
x3 - 3x + 2 = (x - 1)(x2 + x - 2) = 0 ⇔ x = 1 , x2 + x - 2 = 0
Tenemos dos puntos de corte con el eje OX: B = (1 , 0) , C = (-2 , 0)
Signo de la función:
• Positiva en: (-2 , ∞)
• Negativa en: (-∞ , -2)
9) Monotonía:
• Creciente en: (-∞ , -1) ∪ (1 , ∞)
• Decreciente en: (-1 , 1)
10) Máximos y mínimos relativos:
Tiene un máximo relativo en el punto (-1 , 4).
Tiene un mínimo relativo en el punto (1 , 0).
11) Curvatura y puntos de inflexión:
• Convexa en: (-∞ , 0).
• Cóncava en: (0 , ∞).
Tiene un punto de inflexión en (0 , 2).
12) Acotación:
Esta función no está acotada, ni superior, ni inferiormente. Por tanto, no está acotada.
Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:
1) Tipo de función.
2) Dominio.
3) Recorrido o imagen.
4) Continuidad.
5) Periodicidad.
6) Simetrías.
7) Asíntotas.
8) Corte con los ejes.
9) Monotonía.
10) Máximos y mínimos relativos.
11) Curvatura y puntos de inflexión.
12) Acotación.
1) Tipo de función: es una función polinómica de grado 6.
2) Dominio: Dom(f) = R
3) Recorrido o imagen: Im(f) = [-2 , ∞)
4) Continuidad: Es una función continua en todo R, es decir, está bien definida para todo valor real.
5) Periodicidad: no es periódica.
6) Simetrías:
f(-x) = (-x)6 - 3(-x)2 = x6 - 3x2 = f(x)
Como f(-x) = f(x) , tiene simetría par.
La función f es simétrica respecto al eje OY , como además se ve en la gráfica.
7) Asíntotas: no tiene asíntotas.
8) Corte con los ejes:
• x = 0: y = x6 - 3x2 ⇒ y = 0 ⇒ A = (0 , 0)
• y = 0: x6 - 3x2 = 0 ⇒ x2(x4 - 3) = 0 ⇒ x = 0 , x4 - 3 = 0
x1 = 0
Tenemos tres puntos de corte con el eje OX:
Signo de la función:
9) Monotonía:
• Creciente en: (-1 , 0) ∪ (1 , ∞)
• Decreciente en: (-∞ , -1) ∪ (0 , 1)
10) Máximos y mínimos relativos:
Tiene un máximo relativo en (0 , 0).
Tiene dos mínimos relativos en (-1 , -2) y (1 , -2).
11) Curvatura y puntos de inflexión:
12) Acotación:
Por la gráfica, vemos que f no tiene cotas superiores.
Observando la gráfica vemos que las cotas inferiores de la función son: (-∞ , -2].
De todas las cotas inferiores, la más grande es y = -2 , por lo que inf(f) = -2.
Como -2 ∈ Im(f) , tenemos que y = -2 es el mínimo absoluto de la función.
La función f no está acotada, ya que sólo está acotada inferiormente.
Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:
1) Tipo de función.
2) Dominio.
3) Recorrido o imagen.
4) Continuidad.
5) Periodicidad.
6) Simetrías.
7) Asíntotas.
8) Corte con los ejes.
9) Monotonía.
10) Máximos y mínimos relativos.
11) Curvatura y puntos de inflexión.
12) Acotación.
1) Tipo de función: Es una función racional.
2) Dominio:
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±√4 = ±2
Dom(f) = R - {-2 , 2}
3) Recorrido o imagen: Im(f) = R
4) Continuidad:
La función f no está definida ni en 2, ni en -2.
Por tanto, f es continua en R - {-2 , 2}.
5) Periodicidad: no es periódica.
6) Simetrías:
f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par.
f(-x) ≠ -f(x) , por lo que no tiene simetría impar.
La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.
7) Asíntotas:
Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a acercarse la gráfica de la función.
Por la gráfica vemos que hay dos asíntotas verticales: x = 2 , x = -2
Además vemos que hay una asíntota horizontal en: y = 0
Podemos calcular las asíntotas verticales, pues son los valores que anulan al denominador:
x2 - 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±√4 = ±2
Calculamos la asíntota horizontal: como se trata de una función racional, dividimos cada término por la variable x elevada al mayor exponente.
8) Corte con los ejes:
El punto de corte con el eje OY y con el eje OX es el mismo: (0 , 0)
Signo de la función:
• Positiva en: (-2 , 0) ∪ (2 , ∞)
• Negativa en: (-∞ , -2) ∪ (0 , 2)
9) Monotonía:
• No hay ningún intervalo en el que la función sea creciente.
• Decreciente en: (-∞ , -2) ∪ (-2 , 2) ∪ (2 , ∞)
10) Máximos y mínimos relativos: no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
11) Curvatura y puntos de inflexión:
• Convexa en: (-∞ , -2) ∪ (0 , 2)
• Cóncava en: (-2 , 0) ∪ (2 , ∞)
Tiene un punto de inflexión en: (0 , 0)
12) Acotación:
La función f no está acotada, ya que no esta acotada ni superior, ni inferiormente.
Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:
1) Tipo de función.
2) Dominio.
3) Recorrido o imagen.
4) Continuidad.
5) Periodicidad.
6) Simetrías.
7) Asíntotas.
8) Corte con los ejes.
9) Monotonía.
10) Máximos y mínimos relativos.
11) Curvatura y puntos de inflexión.
12) Acotación.
1) Tipo de función: Es una función racional.
2) Dominio:
x2 - 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3
Dom(f) = R - {-3 , 3}
3) Recorrido o imagen:
Im(f) = (-∞ , 0] ∪ (1 , ∞)
4) Continuidad:
La función f no está definida ni en 3, ni en -3.
Por tanto, f es continua en R - {-3 , 3}.
5) Periodicidad: no es periódica.
6) Simetrías:
f(-x) = f(x) , por lo que tiene simetría par.
f(-x) ≠ -f(x) , por lo que no tiene simetría impar.
La función f es simétrica respecto al eje OY , como además se ve en la gráfica.
7) Asíntotas:
Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a acercarse la gráfica de la función.
Por la gráfica vemos que hay dos asíntotas verticales: x = -3 , x = 3
Además vemos que hay una asíntota horizontal en: y = 1
Podemos calcular las asíntotas verticales, pues son los valores que anulan al denominador:
x2 - 9 = 0 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ±√9 = ±3
Calculamos la asíntota horizontal: como se trata de una función racional, dividimos cada término por la variable x elevada al mayor exponente.
8) Corte con los ejes:
El punto de corte con el eje OY y con el eje OX es el mismo: (0 , 0)
Signo de la función:
• Positiva en: (-∞ , -3) ∪ (3 , ∞)
• Negativa en: (-3, 3)
9) Monotonía:
• Creciente en: (-∞ , -3) ∪ (-3 , 0)
• Decreciente en: (0 , 3) ∪ (3 , ∞)
10) Máximos y mínimos relativos.
Tiene un máximo relativo en (0 , 0).
11) Curvatura y puntos de inflexión:
• Convexa en: (-3 , 3)
• Cóncava en: (-∞ , -3) ∪ (3 , ∞)
No tiene puntos de inflexión.
12) Acotación:
La función f no está acotada, ya que no esta acotada ni superior, ni inferiormente.