INICIOEjercicios de representación de funciones exponenciales
Representa gráficamente las siguientes funciones:
Resumen de las propiedades de la función exponencial ex
| 1 | La función exponencial es la inversa de la logarítmica: y = ex ⇔ x = Ln y |
|---|---|
| 2 | La función y = ex tiene por dominio R y por recorrido y > 0 |
| 3 | La función y = ex es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio. |
| 4 | La función y = ex es cóncava hacia arriba en todo su dominio. |
| 5 |  |
Representa gráficamente la función:
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (0, e]
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
La función no corta al eje OX.
• Corte con el eje OY: f(0)
f(0) = e ⇒ El punto de corte es: (0, e)
La función es positiva en todo su dominio.
Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY.
No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.
Asíntotas
El dominio de la función es toda la recta real, por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x → ±∞.
Además, sabemos que la curva de la función queda por encima de la asíntota horizontal.
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-1) > 0 | f ' (1) < 0 |
| Signo de f ' (x) | + | - |
| Monotonía | Crece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es x = 0 .
En x = 0 la función cambia de sentido pasando de creciente a decreciente, por lo tanto en x = 0 la función presenta un máximo local.
• f (0) = e ⇒ Hay un máximo en (0, e)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos : (-∞, -√2/2) , (-√2/2, √2/2) y (√2/2, +∞)
| Intervalo | (-∞, -√2/2) | (-√2/2, √2/2) | (√2/2, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-1) > 0 | f '' (0) < 0 | f '' (-1) > 0 |
| Signo de f '' (x) | + | - | + |
| Curvatura | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son x = ±√2/2
Al haber un cambio de concavidad a convexidad en x = -√2/2 hay un punto de inflexión.
De igual forma, Al haber un cambio de convexidad a concavidad en x = +√2/2 hay un punto de inflexión.
Representa gráficamente la función: f(x) = (x + 3)·e-x
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (-∞, e2]
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (-3, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
f(0) = (0 + 3)·e0 = 3·1 = 3
El punto de corte es: (0, 3)
Como el puntos de corte con el eje OX es x = -3 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -3) , (-3, +∞) :
| Intervalo | (-∞, -3) | (-3, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f(-4) < 0 | f(0) > 0 |
| Signo de f (x) | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
f(- x) = (- x + 3)·e-(-x) = (- x + 3)·ex ≠ f(x) ⇒ No es par.
f(- x) = (- x + 3)·e-(-x) = (- x + 3)·ex ≠ -f(x) ⇒ No es impar.
Por lo tanto la función no es simétrica .
No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.
Asíntotas
Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:
El denominador no se anula nunca. Además, el dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 0 cuando x → +∞.
Veamos que pasa al estudiar su límite en menos infinito:
Por lo tanto, cuando la función tiende a menos infinito, no tiene asíntotas horizontales.
A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:
Por lo tanto, la curva de la función queda por encima de la asíntota horizontal cuando x → +∞
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -2) y (-2, +∞)
| Intervalo | (-∞, -2) | (-2, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-3) > 0 | f ' (0) < 0 |
| Signo de f ' (x) | + | - |
| Monotonía | Crece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es x = -2 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
Hallamos la derivada segunda:
• f '' (-2) < 0 ⇒ Hay un máximo en x = -2 ⇒ f(-2) = e2 ⇒ Max (-2, e2)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos : (-∞, -1) , (-1, +∞)
| Intervalo | (-∞, -1) | (-1, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-3) < 0 | f '' (0) > 0 |
| Signo de f '' (x) | - | + |
| Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda es x = -1
Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:
Por lo tanto, en x = -1 existe un punto de inflexión.
Representa gráficamente la función:
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = [0, 1/e]
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, 0)
Como el puntos de corte con el eje OX es x = 0 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, +∞) :
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f(-3) > 0 | f(3) > 0 |
| Signo de f (x) | + | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY .
No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.
Asíntotas
Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:
El denominador no se anula nunca. Además, el dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La primera derivada se anula cuando se anula el segundo miembro, puesto que el primero no se anula para ningún valor de x .
2x - 2x3 = 0 ⇔ 2x(1 - x2) = 0 ⇔ 2x = 0 o 1 = x2 ⇔ x = 0 x = -1 x = 1
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -1) , (-1, 0) , (0, 1) , (1, +∞)
| Intervalo | (-∞, -1) | (-1, 0) | (0, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-3) > 0 | f ' (-0,5) < 0 | f ' (0,5) > 0 | f ' (3) < 0 |
| Signo de f ' (x) | + | - | + | - |
| Monotonía | Crece | Decrece | Crece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = -1 x = 0 y x = 1 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
Hallamos la derivada segunda:
• f '' (-1) < 0 ⇒ Hay un máximo en x = -1 ⇒ f(-1) = 1/e ⇒ Max (-1, 1/e)
• f '' (0) > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ Min (0, 0)
• f '' (+1) < 0 ⇒ Hay un máximo en x = +1 ⇒ f(+1) = 1/e ⇒ Max (1, 1/e)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos : (-∞, -1,51) , (-1,51, -0,47) , (-0,47, 0,47), (0,47, 1,51), (1,51, +∞)
| Intervalo | (-∞, -1,51) | (-1,51, -0,47) | (-0,47, 0,47) | (0,47, 1,51) | (1,51, +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-3) > 0 | f '' (-1) < 0 | f '' (0) > 0 | f '' (1) < 0 | f '' (3) > 0 |
| Signo de f '' (x) | + | - | + | - | + |
| Curvatura | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son:
Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:
La tercera derivada no se anula para ninguno de los puntos anteriores, por lo tanto, todos ellos son puntos de inflexión.
Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: f(x) = x4 e-x
Como consecuencia, calcular los máximos y mínimos locales de f y representar su gráfica.
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real. :
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = [0, +∞)
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
f(0) = 04·e0 = 0
El punto de corte es: (0, 0)
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, 4) y (4, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, 4) | (4, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-1) < 0 | f ' (1) > 0 | f ' (5) < 0 |
| Signo de f ' (x) | - | + | - |
| Monotonía | Decrece | Crece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = 0 y x = 4 .
En x = 0 la función cambia de sentido pasando de decreciente a creciente, por lo tanto en x = 0 la función presenta un mínimo local y en x = 4 cambia de creciente a decreciente por lo que presenta un máximo.
• f (0) = 0 ⇒ Hay un mínimo en (0, 0)
• f (4) = 256·e-4 ⇒ Hay un máximo en (4, 256·e-4)
Representa gráficamente la función: f(x) = ex - e -x
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = R
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
f(0) = e0 - e-0= 1 - 1 = 0
El punto de corte es: (0, 0)
Como el puntos de corte con el eje OX es x = 0 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, +∞) :
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f(-1) < 0 | f(1) > 0 |
| Signo de f (x) | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
f(- x) = e-x - e-(-x)= - ex + e-x = -f(x) ⇒ Es impar.
Por lo tanto la función es simétrica respecto al origen de coordenadas..
No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.
Asíntotas
El dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto, la función no tiene asíntotas horizontales.
Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:
Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto la función es estrictamente creciente.
| Intervalo | (-∞, +∞) |
|---|---|
| Punto de prueba | f ' (0) > 0 |
| Signo de f ' (x) | + |
| Monotonía | Crece |
Por el apartado anterior sabemos no existen puntos críticos o que anulen a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni níminos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos : (-∞, 0) , (0, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-1) < 0 | f '' (1) > 0 |
| Signo de f '' (x) | - | + |
| Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 0
Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:
Por lo tanto, en x = 0 existe un punto de inflexión.
Representa gráficamente la función:
Función racional exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real, exceptuando los valores que anulan al denominador, es decir, toda la recta real menos x = 1 .:
• Dom(f) = R- {1}
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = R - [0, e2) = (-∞0) ∪ [e2, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es discontinua en x = 1.
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
La función no corta al eje OX .
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, -1)
Como la función no corta al eje OX, tenemos que estudiar los intervalos de continuidad, es decir: (-∞, 1) , (1, +∞) :
| Intervalo | (-∞, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f(0) < 0 | f(2) > 0 |
| Signo de f (x) | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función no es simétrica par ni impar.
No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En nuestro caso x = 1 anula al denominador y no anula al numerador, por lo tanto x = 1 es una asíntota vertical.
Para hallar la posición relativa calculamos los límites laterales:
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto la función tiene una asíntota horizontal y = 0 cuando x → -∞ quedando la curva por debajo de dicha asíntota.
Cuando x → +∞ la función no tiene asíntota horizontal.
Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:
Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos, incluyendo los de discontinuidad: (-∞, 1) , (1, 2) , (2, +∞)
| Intervalo | (-∞, 1) | (1, 2) | (2, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (0) < 0 | f ' (0,5) < 0 | f ' (3) > 0 |
| Signo de f ' (x) | - | - | + |
| Monotonía | Decrece | Decrece | Crece |
Por el apartado anterior sabemos que el punto crítico o punto que anula a la derivada primera es x = 2 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
Hallamos la derivada segunda:
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La ecuación anterior no tiene soluciones reales, por lo tanto tenemos que estudiar únicamente los intervalos de continuidad : (-∞, 1) , (1, +∞)
| Intervalo | (-∞, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (0) < 0 | f '' (2) > 0 |
| Signo de f '' (x) | - | + |
| Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que ningún punto anula a la segunda derivada, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.
Representa gráficamente la función:
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real, ya que nunca se anula el denominador:
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (1, 2)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
La función no corta al eje OX.
• Corte con el eje OY: f(0)
El punto de corte es: (0, 3/2)
La función es positiva en todo su dominio.
Por lo tanto la función no es simétrica .
No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.
Asíntotas
El dominio de la función es toda la recta real, por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 1 cuando x → -∞.
Veamos que pasa al estudiar su límite en más infinito:
Por lo tanto, la función tiene una asíntota horizontal en y = 2 cuando x → +∞.
A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:
Por lo tanto, la curva de la función queda por encima de la asíntota horizontal cuando x → +∞
Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto la función es creciente en todo su dominio.
Por el apartado anterior sabemos que no existe ningún punto crítico o punto que anula a la derivada primera, po9r lo que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos : (-∞, 0) , (0, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-1) > 0 | f '' (1) < 0 |
| Signo de f '' (x) | + | - |
| Curvatura | Concava (∪) | Convexa (∩) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anulan a la derivada segunda es x = 0
Al haber un cambio de concavidad a convexidad en x = 0 hay un punto de inflexión.
Sea la función:
a) Los puntos de corte con los ejes
b) Estudiar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
c
) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
d)
Representar gráficamente
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real, ya que el denominador no se anula nunca. :
• Dom(f) = R
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (-1, 1)
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
f(0) = 04·e0 = 0
El punto de corte es: (0, 0)
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En nuestro caso ningún valor anula al denominador y el dominio de la función son todos los números reales, por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
La función tiene una asíntota horizontal y = -1 cuando x → -∞
La función tiene una asíntota horizontal y = +1 cuando x → -∞
Como la función tiene asíntotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto la función es creciente en todo su dominio.
Por el apartado anterior sabemos que la función no tiene puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Sea la función:
a) Estudiar la simetría
b) Hallar las asíntotas de la función
c) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
d) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión
e)
Representar gráficamente
Función exponencial.
Al tratarse de una función exponencial cuyo exponente es 1/x el dominio son todos los números reales menos el 0:
• Dom(f) = R - {0}
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (-∞, -1) ∪ (1, +∞)
Por lo tanto la función es simétrica impar.
Asíntotas
Para hallar las asíntotas verticales tenemos que estudiar los valores que anulan al denominador y no anulan al numerador. En nuestro caso ningún valor anula al denominador y el dominio de la función son todos los números reales menos x = 0 , por lo tanto debemos estudiar los límites laterales de la función en ese punto.
Por lo tanto la función no tiene asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.
Para calcular las asíntotas oblicuas tenemos que hallar el siguiente límite:
Por lo tanto la función no tiene asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto la función es creciente en todo su dominio.
Por el apartado anterior sabemos que la función no tiene puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La segunda derivada no se anula, por lo tanto tenemos que estudiar únicamente los intervalos de continuidad : (-∞, 0) , (0, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-1) < 0 | f '' (1) > 0 |
| Signo de f '' (x) | - | + |
| Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que ningún punto anula a la segunda derivada, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.
Representa gráficamente la función: f(x) = ex + Ln x
a) Estudiar las asíntotas de f(x)
b) Estudiar la monotonía de f(x)
c) Deducir que f(x) presenta un punto de inflexión
Función exponencial logarítmica.
Al tratarse de una función exponencial logarítmica, el dominio coincide con los valores donde está definido el logarítmo. En este caso está definido para x > 0:
• Dom(f) = (0, +∞)
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = R
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en (0, +∞) .
Asíntotas
Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos el siguiente límite:
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto la función es creciente en (0, +∞)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Para demostrar que la anterior ecuación tiene una solución, utilizamos el teorema de Bolzano para: g(x) = x2·ex - 1
La función g(x) es continua y derivable en el intervalo (0, 1) y además tenemos que:
• g(0) = -1 < 0
• g(1) = e - 1 > 0
Por el teorema de Bolzano existe un punto c ∈ (0, 1) tal que g(c) = 0
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que existe un punto c que anula a la segunda derivada.
Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:
Por lo tanto, en x = c existe un punto de inflexión.
SELECTIVIDAD
Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función dada por la ecuación f(x) = ex sen x en el intervalo [0 , 2π] .
Seguiremos los siguientes puntos:
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obtenidos:
f ' (x) = ex sen x + ex cos x = ex (sen x + cos x) = 0 ⇒ sen x + cos x = 0 (ex ≠ 0 para todo x∈R)
Resolvemos la ecuación para los x ∈ [0 , 2π] :
sen x + cos x = 0 ⇒ sen x = - cos x ⇒ x = 3π/4 , x = 7π/4
Tenemos que estudiar la monotonía en los intervalos: (0, 3π/4) , (3π/4 , 7π/4) , (7π/4 , 2π)
| Intervalo | (0, 3π/4) | (3π/4 , 7π/4) | (7π/4 , 2π) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' ( π/4) > 0 | f ' (π) < 0 | f ' (11π/6) > 0 |
| Signo de f ' (x) | + | - | + |
| Monotonía | Crece | Decrece | Crece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = 3π/4 y x = 7π/4 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
Hallamos la derivada segunda:
f '' (x) = ex(sen x + cos x) + ex(cos x - sen x) = ex (sen x + cos x + cos x - sen x) = 2 ex cos x
• f '' (3π/4) < 0 ⇒ Hay un máximo en x =3π/4 ⇒ f3π/4) = e3π/4 √2/2 ⇒ Max (3π/4 , e3π/4 √2/2)
• f '' (7π/4) > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 7π/4 ⇒ f(7π/4) = - e3π/4 √2/2 ⇒ Min (7π/4 , - e3π/4 √2/2 )
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
f '' (x) = 2 ex cos x = 0 ⇒ cos x = 0 , (ex≠0 para todo x ∈ R) ⇒ x = π/2 , x = 3π/2
Tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (0, π/2) , ( π/2, 3π/2) , (3π/2, 2π)
| Intervalo | (0, π/2) | ( π/2, 3π/2) | (3π/2, 2π) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' ( π/4) > 0 | f '' (π) < 0 | f '' (7π/4) > 0 |
| Signo de f '' (x) | + | - | + |
| Curvatura | Cóncava (∪) | Convexa (∩) | Cóncava (∪) |
La función es cóncava hacia arriba o simplemente cóncava en (0, π/2)∪ (3π/2, 2π) y cóncava hacia abajo o convexa en ( π/2, 3π/2) .
Puntos de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son x = π/2 , x = 3π/2 y vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.
f ''' (x) = 2 ex cos x + 2 ex (- sen x) = 2 ex (cos x - sen x)
f ''' (π/2) ≠ 0 ⇒ x = π/2 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(π/2) = eπ/2 ⇒ Punto inflexión (π/2, eπ/2)
f ''' (3π/2) ≠ 0 ⇒ x =3π/2 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(3π/2) = - eπ/2 ⇒ Punto inflexión (3π/2 , - eπ/2)
