Máximos y mínimos relativos

Una función   f(x)   tiene un máximo relativo en   x = c   si   f(a) ≥ f(x)   para todo   x   en algún entorno del punto   a .

Una función   f(x)   tiene un mínimo relativo en   x = a   si   f(a) ≤ f(x)   para todo   x   en algún entorno del punto   a .

La condición necesaria para que una función tenga un máximo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea menor que 0.

La condición necesaria para que una función tenga un mínimo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea mayor que 0.

Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos

Estudia los máximos y mínimos relativos de la siguiente función:   f(x) = x³ - 3x + 2

1)   Se calcula la primera derivada:   f ' (x)

Calculamos la primera derivada de la función.

f ' (x) = 3x² - 3

2)   Se resuelve la ecuación:   f ' (x) = 0

A continuación calculamos las raíces de la primera derivada.

3x² - 3 = 0   ⇔   3x² = 3   ⇔   x² = 1   ⇔   x = ±1

Por lo tanto la primera derivada se anula en   x = -1   y   x = 1 .

3)   Se sustituyen las raíces de   f ' (x) = 0   en la función inicial y se obtienen los posibles máximos y mínimos relativos.

     •   f (-1) = 4   ⇒   El punto   (-1, 4)   es un posible máximo o mínimo relativo

     •   f (+1) = 0   ⇒   El punto   (+1, 0)   es un posible máximo o mínimo relativo

4)   Se calcula la segunda derivada:   f '' (x)

Calculamos la segunda derivada.

f '' (x) = 6x

5)   Se sustituyen la abscisa de los posibles máximos y mínimos relativos en la segunda derivada   f '' (x)

     •   Si   f '' (x) < 0   es un máximo relativo

     •   Si   f '' (x) > 0   es un mínimo relativo

En nuestro caso tenemos que:

     •   f '' (-1) = - 6 < 0   ⇒   (-1, 4)   es un máximo relativo

     •   f '' (+1) = 6 > 0   ⇒   (+1, 0)   es un mínimo relativo