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Discontinuidad de una función en un punto

Una función es discontinua en un punto   a   cuando no es continua en el, es decir, cuando no se cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.

1)   No existe el valor de la función en   x = a ,  es decir, no existe   f(a) .

2)   No existe el límite de la función en   x = a ,  es decir, no existe el límite de   f(x)   cuando   x   tiende a   a .

3)   Existe   f(a)   y el límite de   f(x)   en   x = a   pero son distintos:

definicion discontinuidad


Discontinuidad evitable

Una discontinuidad en   x = a   es evitable si existe el límite de la función   f(x)   en   x = a   y es finito, pero es distinto de la función en   x = a   o no existe el valor de la función en   x = a .


Esta discontinuidad se llama evitable porque la función se convierte en continua al asignar el valor del límite al valor de la función en   x = a :

discontinuidad evitable


discontinuidad de salto

          discontinuidad evitable

discontinuidad salto

  La función no está definida en   x = a


Discontinuidad de 1ª especie o de salto

Una discontinuidad en   x = a   es de 1ª especie o de salto si existen los límites laterales y son distintos, o alguno de ellos es infinito.

Decimos que es de salto finito si los límites laterales son finitos y de salto infinito si alguno de ellos es infinito.


discontinuidad salto finito

Discontinuidad de salto finito

Este tipo de discontinuidad ocurre cuando no existe el límite de   f(x)   cuando   x   tiende a   a .

Es decir, aunque existen los límites laterales, estos no coinciden:

discontinuidad salto finito


discontinuidad salto infinito

Discontinuidad de salto infinito

Los dos límites laterales en   x = a   son infinito.

limite lateral infinito

limite lateral infinito

discontinuidad salto infinito

Discontinuidad de salto infinito

Uno de los dos límites laterales en   x = a   es infinito.

limite lateral

limite lateral

Discontinuidad de 2ª especie o dicontinuidad asintótica

Una discontinuidad en   x = a   es de 2ª especie si uno o los dos límites laterales no existen.


discontinuidad segunda especie

Discontinuidad de segunda especie

imagen limite

limite lateral discontinuidad

limite lateral no existe

izquierda
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