INICIOEjercicios de representación de funciones irracionales
Representa gráficamente la función:
Función irracional.
Al tratarse de una función irracional (de raiz n par) tenemos que estudiar los valores donde el radicando es mayor o igual que 0.
x2 - 4 ≥ 0 ⇒ Calculamos las raíces de la ecuación ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±√4 = ±2
Por lo tanto, estudiamos el signo del radicando en los intervalos: (-∞, -2) , (-2, 2) y (2, +∞) :
| Intervalo | (-∞, -2] | [-2, 2] | [2, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | x = -3 | x = 0 | x = 3 |
| Signo | + | - | + |
Es decir, el signo del radicando es negativo en el intervalo (-2, 2) .
• Dom(f) = R - (-2, 2) = (-∞, -2] ∪ [2, +∞)
• Im(f) = R+ = [0, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en R - (-2, 2) , es decir, es discontinua en el intervalo (-2, 2) .
La discontinuidad es de segunda especie o parabólica.
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (-2, 0) y (2, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no está definida en x = 0 , por lo tanto la función no corta al eje OY.
Como los puntos de corte con el eje OX son x = -2 y x = 2 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -2) , y (2, +∞) :
| Intervalo | (-∞, -2) | (2, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f(-3) > 0 | f(3) > 0 |
| Signo de f (x) | + | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY .
No es periódica porque las funciones irracionales nunca lo son.
Asíntotas
La función no tiene asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:
Por lo tanto no tiene asíntotas horizontales.
Para hallar las asíntotas oblicuas calculamos los siguientes límites:
Para calcular la posición relativa de la curva respecto a las asíntotas tenemos que hallar:
Por lo tanto la curva está por debajo de las asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La primera derivada no se anula, por lo tanto estudiamos los intervalos que nos da la discontinuidad de la función: (-∞, -0) , (0, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-3) < 0 | f ' (3) > 0 |
| Signo de f ' (x) | + | - |
| Monotonía | Crece | Decrece |
Como la primera derivada no se anula para ningún valor, la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Como ningún valor anula a la segunda derivada, tenemos que estudiar los siguientes intervalos según la continuidad de la función: (-∞, 0) , (0, +∞)
| Intervalo | (-∞, -2) | (2, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-3) > 0 | f '' (3) > 0 |
| Signo de f '' (x) | + | + |
| Curvatura | Concava (∪) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que la segunda derivada no se anula para ningún valor, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.
Representa gráficamente la función:
Función irracional.
Al tratarse de una función irracional (de raiz n par) tenemos que estudiar los valores donde el radicando es mayor o igual que 0.
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | g(-3) < 0 | g(1) > 0 | f(4) < 0 |
| Signo de g (x) | - | + | - |
Además, la función no está definida para x = 0 ya que dicho valor anula al denominador.
• Dom(f) = (0, 2]
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = [0, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en (0, 2] .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (2, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no está definida en x = 0 por lo tanto no corta al eje OY.
Como el puntos de corte con el eje OX es x = 2 , tenemos que estudiar únicamente el intervalo donde está definida la función: (0, 2):
| Intervalo | (0, 2) |
|---|---|
| Punto de prueba | f(1) > 0 |
| Signo de f (x) | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función no es simétrica .
No es periódica porque las funciones irracionales nunca lo son.
Asíntotas
En este caso estudiamos el límite cuando x → 0+
Por lo tanto la función tiene una asíntota veritcal en x = 0 .
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito. En nuestro caso el dominio de la función corresponde al intervalo (0, 2] por lo que carece de sentido estudiar la función en menos infinito y en más infinito. :
Por lo tanto la función no tiene asíntotas horizontales.
Por la misma razón que en el apartado anterior, la función no tiene asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Es decir, no existe ningún valor que anule a la primera derivada.
Por lo tanto tenemos que estudiar únicamente el dominio: (0, 2]
| Intervalo | (0, 2] |
|---|---|
| Punto de prueba | f ' (1) > 0 |
| Signo de f ' (x) | - |
| Monotonía | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos no existen puntos críticos o que anulen a la derivada primera, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni níminos relativos.
Sin embarbo la función si tiene un mínimo absoluto en el punto (2, 0) .
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto ningún valor anula a la segunda derivada, por lo que únicamente estudiamos el intervalo donde está definida la función: (0, 3/2) , (3/2, 2)
| Intervalo | (0, 3/2) | (3/2, 2) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (1) > 0 | f '' (1,7) < 0 |
| Signo de f '' (x) | + | - |
| Curvatura | Concava (∪) | Convexa (∩) |
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que existe un punto donde se anula la derivada segunda: x = 3/2
Como la curva pasa de concava a convexa en ese punto, entonces es un punto de inflexión.
Dada la función:
a) Hallar el dominio de definición y cortes con los ejes
b) Estudiar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos
Función irracional.
Al tratarse de una función irracional (de raiz n par) tenemos que estudiar los valores donde el radicando es mayor o igual que 0.
| Intervalo | (-∞, -3) | (-3, 3) | (3, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | g(-4) > 0 | g(0) < 0 | f(4) > 0 |
| Signo de g (x) | + | - | + |
Además, la función no está definida para x = 1 ya que dicho valor anula al denominador.
• Dom(f) = (-∞, -3] ∪ [3, +∞)
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (-1, 3√2/4)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en (-∞, -3] ∪ [3, +∞) .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
Los puntos de corte son: (-3, 0) y (3, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no está definida en x = 0 por lo tanto no corta al eje OY.
Como el puntos de corte con el eje OX es x = ±3 , tenemos que estudiar únicamente el intervalo donde está definida la función: (-∞, 3) y (3, +∞)
| Intervalo | (-∞, -3) | (3, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f(-4) < 0 | f(4) > 0 |
| Signo de f (x) | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
Por lo tanto la función no es simétrica .
No es periódica porque las funciones irracionales nunca lo son.
Asíntotas
Como el denominador de nuestra función se anula para x = 1 tendriamos que estudiar los límites laterales en dicho punto para ver si se trata de una asíntota vertical, pero como la función no está definida en ese punto, no tiene asíntotas verticales.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito.
Como la función tiene asintotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Es decir, la primera derivada se anula cuando x = 9
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 3) , (3, 9) y (9, +∞)
| Intervalo | (-∞, 3) | (3, 9) | (9, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-4) > 0 | f ' (4) > 0 | f ' (10) < 0 |
| Signo de f ' (x) | + | + | - |
| Monotonía | Crece | Crece | Decrece |
Por el apartado anterior sabemos que la primera derivada se anula en x = 9 .
Como la función es creciente en el intervalo (3, 9) y decreciente en el intervalo (9, +∞) , la función presenta un máximo relativo:
SELECTIVIDAD
Estudiar y representar gráficamente la función
Función irracional.
Al tratarse de una función irracional (de raiz n par) tenemos que estudiar los valores donde el radicando es mayor o igual que 0.
| Intervalo | (-∞, -1) | (-1, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | g(-2) < 0 | g(0) > 0 | f(2) < 0 |
| Signo de g (x) | - | + | - |
Además, la función no está definida para x = ±1 ya que dicho valor anula al denominador.
• Dom(f) = (-1, 1)
Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :
• Im(f) = (-∞, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en (-1, 1) .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El único punto de corte es: (0, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
El único punto de corte es: (0, 0)
Por lo tanto la función tiene simetría impar, es decir, es simétrica respecto al origen.
Asíntotas
Como el denominador de nuestra función se anula para x = ±1 tenemos que estudiar los límites laterales en dicho punto para ver si se trata de una asíntota vertical.
Como la función sólo está definida en (-1, 1) , los límites que tiene sentido estudiar son:
Para hallar las asíntotas horizontales tendríamos que estudiar los límites de la función en el infinito.
Sin embargo, no tiene sentido estudiar nuestra función en ±∞ ya que sólo está definida en (-1 ,1).
Al igual que ocurre en las asíntotas horizontales, no tiene sentido estudiar los límites en ±∞ puesto que la función sólo está definida en (-1 , 1) .
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
La primera derivada no se anula para ningún valor de x.
Esto significa que la función no tiene ni máximos ni mínimos, y por tanto, será creciente ó decreciente en todo su dominio.
Cuando estudiamos el dominio vimos que 1 - x2 ≥ 0 , luego tenemos que el denominador de la derivada es positivo.
f '(x) > 0 para todo x ∈(-1 , 1) ⇒ la función es creciente en todo su dominio.
Hemos visto en el apartado anterior que la función no tiene ni máximos ni mínimos, pues su segunda derivada no se anula en ningún punto.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Estudiamos la concavidad y convexidad en los intervalos donde está definida la función: (-1, 0) y (0, 1)
| Intervalo | (-1, 0) | (0, 1) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-1/2) < 0 | f '' (1/2) > 0 |
| Signo de f '' (x) | - | + |
| Curvatura f(x) | Convexa (∩) | Concava (∪) |
Punto de inflexión
El único punto que anula a la segunda derivada es x = 0. Como en dicho punto la función cambia de curvatura (pasa de ser convexa a ser cóncava), tenemos que x = 0 es punto de inflexión.
x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ Punto de inflexión (0 , 0)
Representa gráficamente la siguiente función:
Función implicita.
Al tratarse de una función irracional (de raiz n par) tenemos que estudiar los valores donde el radicando es mayor o igual que 0.
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -3) , (-3, 1) y (1, +∞)
| Intervalo | (-∞, -3) | (-3, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | g(-4) > 0 | g(0) < 0 | f(2) > 0 |
| Signo de g (x) | + | - | + |
Además, la función no está definida para x = 1 ya que dicho valor anula al denominador.
• Dom(f) = (-∞, -3] ∪ (1, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función no está definida en el intervalo (-3, 1] .
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
El punto de corte es: (-3, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
La función no está definida en x = 0 por lo tanto no corta al eje OY.
Estas funciones son simétricas respecto al eje OX .
No es periódica porque las funciones irracionales nunca lo son.
Asíntotas
Como el denominador de nuestra función se anula para x = 1 tendriamos que estudiar los límites laterales en dicho punto:
El límite en x = 1 por la izquierda no existe ya que la función no está definida.
Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito.
Como la función tiene asintotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Es decir, la primera derivada no se anula. Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, -3] y (1, +∞)
| Intervalo | (-∞, -3] | (1, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-4) < 0 -f ' (-4) > 0 |
f ' (2) < 0 -f ' (2) > 0 |
Signo de f ' (x) Signo de - f ' (x) |
- + |
- + |
Monotonía f(x) Monotonía - f(x) |
Decrece Crece |
Decrece Crece |
Por el apartado anterior sabemos que la primera derivada no se anula, por lo tanto la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
Por lo tanto la segunda derivada únicamente se anula para un valor que no pertenece al dominio de la función, por lo que estudiamos la concavidad y convexidad en los intervalos donde está definida la función: (-∞, -3] y (1, +∞)
| Intervalo | (-∞, -3] | (1, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (-4) < 0 - f '' (-4) > 0 |
f '' (2) > 0 - f '' (2) < 0 |
Signo de f '' (x) Signo de - f '' (x) |
- + |
+ - |
Curvatura f(x) Curvatura - f(x) |
Convexa (∩) Concava (∪) |
Concava (∪) Convexa (∩) |
Punto de inflexión
El único punto que anula a la segunda derivada no pertenece al dominio de la función, por lo tanto la función no tiene puntos de inflexión.
