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Representación de funciones exponenciales

Resumen de las propiedades de la función exponencial   ex

1      La función exponencial es la inversa de la logarítmica:
     y = ex      ⇔      x = Ln y
2      La función   y = ex  tiene por dominio   R   y por recorrido   y > 0
3   La función    y = ex  es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4      La función   y = ex   es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
5      

Representa gráficamente la función:  

funcion exponencial


Tipo de función

Función exponencial.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función exponencial el dominio es toda la recta real:

   •   Dom(f) = R

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = [0, 1/e]

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R .

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        punto corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        punto de corte funcion exponencial

        El punto de corte es:   (0, 0)

Intervalos de signo constante

Como el puntos de corte con el eje OX es   x = 0  , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, 0) ,   (0, +∞) :

Intervalo (-∞, 0) (0, +∞)
Punto de prueba f(-3) > 0 f(3) > 0
Signo de f (x) + +

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

simetria funcion exponencial

Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones exponenciales nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Nuestra función se puede escribir de la siguiente forma:

asintotas verticales

El denominador no se anula nunca. Además, el dominio de la función es toda la recta real, por lo que no existen asíntotas verticales.

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

asintota horizontal funcion exponencial

asintota horizontal funcion exponencial

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.


Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

primera derivada funcion exponencial

La primera derivada se anula cuando se anula el segundo miembro, puesto que el primero no se anula para ningún valor de x .

2x - 2x3 = 0     ⇔     2x(1 - x2) = 0     ⇔      2x = 0     o     1 = x2     ⇔     x = 0     x = -1     x = 1

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos:    (-∞, -1) ,    (-1, 0) ,    (0, 1) ,    (1, +∞)

Intervalo (-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +∞)
Punto de prueba f ' (-3) > 0 f ' (-0,5) < 0 f ' (0,5) > 0 f ' (3) < 0
Signo de f ' (x) + - + -
Monotonía Crece Decrece Crece Decrece

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son      x = -1     x = 0     y     x = 1 ,   vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.

Hallamos la derivada segunda:

segunda derivada funcion exponencial

   •   f '' (-1) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = -1   ⇒   f(-1) = 1/e   ⇒   Max (-1, 1/e)

   •   f '' (0) > 0   ⇒   Hay un mínimo en   x = 0   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Min (0, 0)

   •   f '' (+1) < 0   ⇒   Hay un máximo en   x = +1   ⇒   f(+1) = 1/e   ⇒   Max (1, 1/e)

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

segunda derivada funcion exponencial

segunda derivada funcion exponencial

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos :    (-∞, -1,51) ,    (-1,51, -0,47) ,    (-0,47, 0,47),    (0,47, 1,51),    (1,51, +∞)

Intervalo (-∞, -1,51) (-1,51, -0,47) (-0,47, 0,47) (0,47, 1,51) (1,51, +∞)
Punto de prueba f '' (-3) > 0 f '' (-1) < 0 f '' (0) > 0 f '' (1) < 0 f '' (3) > 0
Signo de f '' (x) + - + - +
Curvatura Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪) Convexa (∩) Concava (∪)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que los puntos que anulan a la derivada segunda son:

puntos de inflexion funcion exponencial

Vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de puntos de inflexión:

tercera derivada funcion exponencial

tercera derivada funcion exponencial

La tercera derivada no se anula para ninguno de los puntos anteriores, por lo tanto, todos ellos son puntos de inflexión.

puntos inflexion funcion exponencial


grafica funcion exponencial

izquierda
         arriba
derecha