INICIOEjercicios resueltos de triángulos
Triángulos
(polígonos de tres lados)
| Nombre | Dibujo | Perímetro | Área |
|---|---|---|---|
| Triángulo equilátero |
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| Triángulo isósceles |
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| Triángulo escaleno |  |
P = a + b + c  |
 Fórmula de Herón:   |
| Triángulo rectángulo |
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Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 P = a + b + c  |
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| Triángulo inscrito |  |
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| Triángulo circunscrito |  |
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| Triángulo exterior |  |
P = a + b + c |  |
Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro
| Nombre | Dibujo | Elemento |
|---|---|---|
| Triángulo escaleno |
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Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto Es el centro de gravedad del triángulo. Dista 1/3 del lado y 2/3 del vértice. |
| Triángulo escaleno |
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Bisectriz: es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales Incentro: es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo |
| Triángulo escaleno |  |
Mediatriz: es la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo Circuncentro: es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo |
| Triángulo acutángulo |
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Altura: segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice Ortocentro: es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo |
| Triángulo rectangulo |  |
En un triángulo rectángulo el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo |
| Triángulo obtusángulo |  |
En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo |
| Triángulo equilatero |  |
En un triángulo equilatero coinciden el baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro |
| Recta de Euler |  |
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1 ) En un triángulo rectángulo se conocen la hipotenusa a = 5m y un cateto b = 4 m. Calcula el lado desconocido.
2 ) En un triángulo rectángulo se conocen los catetos b =8m y c =6 m. Calcula el lado desconocido.
3 ) En un triángulo rectángulo se conocen los catetos a = 20 cm y c = 7 cm. Calcula el lado desconocido.
4 ) Calcular el perímetro y el área de las siguientes figuras.
a )
b )
5 ) Hallar el área de un triangulo isósceles en el que los lados iguales miden 14 m cada uno y el desigual mide 10 m
6 ) Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras.
7 ) Calcular el lado y la apotema de un triángulo equilatero circunscrito en una circunferencia de 6 cm de radio.
8 ) Calcular el diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Como tenemos un triángulo equilátero sabemos que sus medianas coinciden con sus alturas y sus bisectrices. Por tanto, el baricentro coincide con el incentro. Entonces se deduce que el diámetro de la circunferencia inscrita en el triángulo es 2/3 de la altura h.
9 ) La longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilatero es 10 cm.
a) ¿Cúanto mide la circunferencia circunscrita?
b) ¿Cúal es el perímetro del triángulo?
Estamos ante un triángulo equilátero luego las bisectrices, medianas, mediatrices y alturas coinciden. A su vez el baricentro, ortocentro, circuncentro e incentro también coinciden. Se sabe también que el radio de la circunferencia circunscrita es el doble del radio de la circunferencia inscrita. Por tanto, la longitud de la circunferencia es el doble.
10 ) Calcula y dibuja acerca del dibujo adjunto los siguientes apartados:
a ) Dibujar la mediana que sale de C y halla su longitud.
b ) Dibujar las mediatrices y hallar el radio de la circunferencia circunscrita.
c ) ¿Cúal es el ortocentro de ese triángulo?
a )
b )
Las mediatrices se cortan en los circunscritos que para este caso en concreto es el punto medio de la hipotenusa. (Llamamos y a la longitud de la hipotenusa).
c )
El ortocentro es el punto donde se unen las tres alturas. En nuestro caso es el vértice B.
11 ) En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta con longitudes de 5 cm y 14 cm. Hallar la longitud de dicha altura y dibujar el triángulo correspondiente.
Aplicamos el teorema de la altura:
12 ) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y la proyección del cateto b sobre el mide 3,6 cm. Hallar:
a) La longitud del cateto b.
b) La longitud de la proyección del cateto c sobre la hipotenusa.
c) La longitud del cateto c.
d) La longituda de la altura relativa a la hipotenusa h.
e) Dibuja el triangulo rectángulo.
a) La longitud del cateto b.
b) La longitud de la proyección del cateto c sobre la hipotenusa.
c) La longitud del cateto c.
d) La longituda de la altura relativa a la hipotenusa h.
e) Dibuja el triángulo rectángulo
13 ) Calcula el valor de x el siguiente caso.
14 ) Calcula el valor de x el siguiente caso.
15) Calcular todas las incógnitas marcadas en el siguiente triángulo rectángulo.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. Como el ángulo A es rectángulo y el ángulo C mide 23 grados, tenemos que:
Por otra parte, como los dos triángulos definidos son rectángulos y semejantes, podemos establecer las siguientes relaciones entre sus lados que son proporcionales:
16 ) Determina la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.
Por el teorema de la altura tenemos que:
Por el teorema del cateto tenemos que:
17 ) Calcula el lado que falta y la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.
En primer lugar, por el teorema de Pitagoras, calculamos la hipotenusa que es el lado que falta:
Una vez conocida la hipotenusa, aplicamos el teorema de la altura y el teorema del cateto para calcular la altura sobre la hipotenusa. Por el teorema de la altura tenemos que:
Por el teorema del cateto tenemos que:
18 ) Calcula el área de un segmento circular de 90º de amplitud en un círculo de 20 cm de radio.
19 ) Calcular:
a) La longitud de x
b) El área de la parte coloreada.
20-a ) Desde cierto punto A que dista 35 cm del centro de una circunferencia de radio 25 cm, se traza una tangente. Calcular la distancia desde A hasta el punto de tangencia
20-b ) Realizamos otra tangente desde otro punto B y al medir la distancia de P al punto de tangencia obtenemos 28 cm. ¿Cúal es la distancia de B al centro de la circunferencia?
21 ) ¿ A que altura se llega con una escalera de 3 metros si colocamos su base a 1 metro de la pared?
22 ) Las diagonales de una cometa ABCD se cruzan perpendicularmente en el punto O. Si OA mide 20 cm, OC 20 cm, OD 40cm y OB 15 cm, calcule la medida de los lados de la cometa.
