INICIORepresentación de funciones polinómicas
Representa gráficamente la función: y = x3 - 3x2
Función polinómica.
• Dom(f) = R = (-∞, +∞)
• Im(f) = R = (-∞, +∞)
Continuidad y tipos de discontinuidad
La función es continua en toda la recta real R por ser una función polinómica.
• Corte con el eje OX: f(x) = 0
x3 - 3x2 = 0 ⇒ x2(x - 3) = 0 ⇒ x2 = 0 , x = 3 ⇒ x = 0 , x = 3
Los puntos de corte son: (0, 0) y (3, 0)
• Corte con el eje OY: f(0)
f(0) = 03 - 3·02 = 0
El punto de corte es: (0, 0)
Como los puntos de corte con el eje OX son x = 0 y x = 3 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, 3) , (3, +∞) :
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, 3) | (3, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f(-1) < 0 | f(2) < 0 | f(4) > 0 |
| Signo de f (x) | - | - | + |
En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes y las regiones donde no hay curva.
f(- x) = (- x)3 - 3·(- x)2 = - x3 - 3x2 ≠ f(x) ⇒ No es par.
f(- x) = (- x)3 - 3·(- x)2 = - x3 - 3x2 ≠ - f(x) ⇒ No es impar.
No es periódica porque las funciones polinómicas nunca lo son.
Asíntotas
Las funciones polinómicas no tienen asíntotas.
Monotonia: crecimiento y decrecimiento
Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
f ' (x) = 3x2 - 6x = 0 ⇒ x(3x - 6) = 0 ⇒ x = 0 y 3x - 6 = 0 ⇒ x = 0 y x = 2
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 0) , (0, 2) , (2, +∞)
| Intervalo | (-∞, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
|---|---|---|---|
| Punto de prueba | f ' (-1) > 0 | f ' (1) < 0 | f ' (1) > 0 |
| Signo de f ' (x) | + | - | + |
| Monotonía | Crece | Decrece | Crece |
Por el apartado anterior sabemos que los puntos críticos o puntos que anulan a la derivada primera son x = 0 y x = 2 , vamos a determinar a través de la segunda derivada si se tratan de máximos o mínimos.
Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 6x - 6
• f '' (0) = - 6 < 0 ⇒ Hay un máximo en x = 0 ⇒ f(0) = 0 ⇒ Max (0, 0)
• f '' (2) = + 6 > 0 ⇒ Hay un mínimo en x = 2 ⇒ f(2) = -4 ⇒ Min (2, -4)
Curvatura y puntos de inflexión
Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:
f '' (x) = 6x - 6 = 0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1
Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos: (-∞, 1) , (1, +∞) :
| Intervalo | (-∞, 1) | (1, +∞) |
|---|---|---|
| Punto de prueba | f '' (0) < 0 | f '' (2) > 0 |
| Signo de f '' (x) | - | + |
| Curvatura | Convexa (∩) | Concava (∪) |
La función es cóncava hacia arriba o simplemente concava en el intervalo (1, +∞) y concava hacia abajo o convexa en el intervalo (-∞, 0) .
Punto de inflexión
Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es x = 1 y vamos a determinar a través de la tercera derivada si se tratan de un punto de inflexión.
f '' (x) = 6x - 6 = 0 ⇒ 6x = 6 ⇒ x = 1
f ''' (x) = 6 ≠ 0 ⇒ x = 1 es la abscisa del punto de inflexión ⇒ f(1) = - 2 ⇒ Punto inflexión (1, -2)
