Regla general para el cálculo de máximo, mínimo y punto de inflexión
En el cálculo de los máximos y mínimos de una función, si se anula la primera y la segunda derivada, no se sabe si hay máximo o mínimo, aunque si no se anula la tercera derivada, tenemos un punto de inflexión. Pero, ¿y si se anula la derivada tercera?
En este caso vamos a aplicar la regla general para el cálculo del máximo, mínimo y punto de inflexión.
Si en un punto x = a de una función f(x) se anulan las (n - 1) primeras derivadas y f(a) ≠ 0 , esta función tiene en este punto:
• Si n es par y f (n) (a) < 0 ⇒ Máximo .
• Si n es par y f (n) (a) > 0 ⇒ Mínimo .
• Si n es impar ⇒ Punto de inflexión.
Ejemplos de la regla general para el cálculo de máximos, mínimo y punto de inflexión
1) Comprueba que la función f(x) = x4 en x = 0 tiene un mínimo .
Hallamos la derivada primera: f ' (x) = 4x3 ⇒ f ' (0) = 0
Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 12x2 ⇒ f '' (0) = 0
Hallamos la derivada tercera: f ''' (x) = 24x ⇒ f ''' (0) = 0
Hallamos la derivada cuarta: f (4) (x) = 24 > 0
Si n es par y f (n) (a) > 0 ⇒ Mínimo .
Por lo tanto el punto (0, 0) es un mínimo.
2) Comprueba que la función f(x) = - 2x6 en x = 0 tiene un mínimo, un máximo o un punto de inflexión .
Hallamos la derivada primera: f ' (x) = -12x5 ⇒ f ' (0) = 0
Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = -60x4 ⇒ f '' (0) = 0
Hallamos la derivada tercera: f ''' (x) = -240x3 ⇒ f ''' (0) = 0
Hallamos la derivada cuarta: f (4) (x) = -720x2 ⇒ f (4) = 0
Hallamos la derivada quinta: f (5) (x) = -1440x ⇒ f (5) = 0
Hallamos la derivada sexta: f (6) (x) = -1440 < 0
Si n es par y f (n) (a) < 0 ⇒ Máximo .
Por lo tanto el punto (0, 0) es un máximo.
3) Comprueba que la función f(x) = x5 en x = 0 tiene un mínimo, un máximo o un punto de inflexión .
Hallamos la derivada primera: f ' (x) = 5x4 ⇒ f ' (0) = 0
Hallamos la derivada segunda: f '' (x) = 20x3 ⇒ f '' (0) = 0
Hallamos la derivada tercera: f ''' (x) = 60x2 ⇒ f ''' = 0
Hallamos la derivada cuarta: f (4) (x) = 120x ⇒ f (4) = 0
Hallamos la derivada quinta: f (5) (x) = 120 ≠ 0
Si n es impar ⇒ Punto de inflexión .
Por lo tanto el punto (0, 0) es un máximo.