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Problemas resueltos de grifos

Planteamiento general de un problema sobre grifos:



Supongamos que tenemos 2 grifos y un depósito a llenar.


            •  En una hora, el primer grifo llena  1/t1  del depósito.


            •  En una hora, el segundo grifo llena  1/t2  del depósito.



Si el depósito tiene un desagüe:


            •  En una hora, el desagüe vacía  1/t3  del depósito.



En una hora, los dos grifos juntos habrán llenado  1/T:


            •  Sin desagüe:


                                                sin_desague


            •  Con desagüe:


                                                con_desague

Una fuente llena un depósito en 12 h y otra lo llena en 20 h. ¿Qué tardarían en llenarlo manando juntas ambas fuentes?



Sea x el tiempo que tarda en llenarse el depósito (T = x). Entonces, en una hora se deberá llenar  1/x  del depósito.


La primera fuente tarda en llenarlo  t1 = 12  horas, luego en una hora habrá llenado  1/t1 = 1/12  del depósito.


La segunda fuente tarda en llenarlo  t2 = 20  horas, luego en una hora habrá llenado  1/t2 = 1/20  del depósito.


Si las dos fuentes manan a la vez, deberemos tener:


probl1


Resolvemos la ecuación:


            probl1_mcm


            probl1_sol


Pasamos  0,5 h  a minutos:     0,5 · 60 = 30 min


Tardaría en llenarse:   7 h   30 min

Dos fuentes manando juntas tardan en llenar un depósito 2 horas y 24 minutos. Halla el tiempo que emplearía cada una de ellas sabiendo que la segunda emplea dos horas menos que la primera.



Tenemos que pasar  2 h 24 min a minutos:


            2 h     ⇒     2 · 60 = 120 min


Si las dos fuentes manan a la vez, el depósito se llenará en:     120 + 24 = 144 minutos


Por tanto, en una hora se habrá llenado  1/144   del depósito


Sea x el tiempo que tarda la primera fuente en llenar el depósito. En una hora habrá llenado  1/x  del depósito.


Como la segunda tarda dos horas menos (120 min) que la primera:     x - 120


Y en una hora ésta habrá llenado:     1/(x - 120)


Si las dos fuentes manan a la vez, tenemos que:


probl3


Aplicamos:    m.c.m.(x, x - 120, 144) = 144x(x - 120)


            144(x - 120) + 144x = x(x - 120)     ⇔     144x - 17280 + 144x = x2 - 120x     ⇔     x2 - 408x + 17280 = 0


            probl3_sol


Si tomamos x = 48 como el tiempo que tarda la primera fuente, entonces la segunda tardaría:     x - 120 = 48 - 120 = - 72 min   ¡el tiempo no puede ser negativo!


Por tanto, la primera fuente tarda:


            360 / 60 = 6 horas


Y entonces la segunda tarda:


           x - 120 = 360 - 120 = 240 min


           240 / 60 = 4 horas


Un depósito tiene un grifo que lo llena en 3 horas; otro tarda en llenarlo 4 horas y un desagüe lo vacía en 5 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse si se abren a la vez los tres caños?



Sea x el tiempo que tarda en llenarse el depósito (T = x). Entonces, en una hora se deberá llenar  1/x  del depósito.


El primer grifo tarda  t1 = 3  horas en llenar el déposito. Por tanto, en una hora llenará  1/t1 = 1/3  del depósito.


El segundo grifo tarda  t2 = 5  horas en llenar el déposito. Luego, en una hora llenará  1/t2 = 1/5  del depósito.


El desagüe tarda  t3 = 5  horas en vaciar el depósito. Así que en una hora vaciará  1/t3 = 1/5  del depósito.


Por tanto:


probl2


Resolvemos la ecuación:


            probl2_mcm


            probl2_sol


Pasamos  0,60869 h  a minutos:     0,60869 · 60 = 36,5214 ≈ 36 min


Tardaría en llenarse:   2 h   36 min