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Problemas resueltos de mezclas

Planteamiento general de un problema sobre mezclas:



Supongamos que queremos hacer una mezcla con dos sustancias, A y B.


      •   CA    es la cantidad de la sustancia A:        CA = x


      •   CB    es la cantidad de la sustancia B:        CB = Cm - x


      •   Cm    es la cantidad total de la mezcla:       Cm = CA + CB


      •   PA    es el precio de la sustancia  A.


      •   PB    es el precio de la sustancia  B.


      •   Pm    es el precio total de la mezcla.



Tenemos la siguiente fórmula general:


                        CA · PA  +  CB· PB  =  Cm · Pm



También podemos poner los datos en una tabla:

  Cantidad Precio Coste
Sustancia A CA PA CA · PA
Sustancia B CB PB CB · PB
Mezcla CA + CB Pm (CA + CB) · Pm

Se mezclan dos tipos de harina: A y B. De precio 0,60 €/Kg y 0,45 €/Kg en la proporción de 8 Kg del tipo A y 5 Kg del tipo B. ¿A qué precio sale el Kg de la mezcla?


Un comerciante tiene dos clases de café, de 25€ y de 40€ el kilogramo, respectivamente. ¿Cuántos Kg. de cada clase debe coger para hacer una mezcla de 60 Kg. a 30€ el Kg.?


Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:

  Cantidad Precio Coste
Café A x 25 25x
Café B 60 - x 40 (60 - x) · 40
Mezcla 60 30 60 · 30

La cantidad total de mezcla (60 kg) es la suma de ambos tipos de café. Por tanto, si tenemos  x  kilogramos de café de tipo A, la cantidad de café de tipo B será:     60 - x


Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:


25x  +  (60 - x) · 40  =  60 · 30


Resolvemos la ecuación de primer grado:


           25x  +  (60 - x) · 40  =  60 · 30     ⇔     25x + 2400 - 40x = 1800     ⇔     - 15x = - 600     ⇔     15x = 600     ⇔     x = 40 kg.


            Si x = 40     ⇒    60 - x = 20 kg.


El comerciante tendrá que tomar  40 Kg.  del café de tipo A y  20 kg.  del café de tipo B.

¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa ha de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con 25% de grasa?


Consideraremos la leche con 35% de grasa como leche de tipo A, y a la de 4% de grasa como leche de tipo B.


Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:

  Cantidad % de grasa Coste
Leche A x 35 35x
Leche B 20 - x 4 (20 - x) · 4
Mezcla 20 25 20 · 25

La cantidad total de mezcla (20 l) es la suma de ambos tipos de leche. Por tanto, si tenemos  x  litros de leche de tipo A, la cantidad de leche de tipo B será:     20 - x


Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:


35x  +  (20 - x) · 4  =  20 · 25


Resolvemos la ecuación de primer grado:


           35x  +  (20 - x) · 4  =  20 · 25     ⇔     35x + 80 - 4x = 500     ⇔     31x = 420     ⇔     x = 420/31


           Si  x = 420/31     ⇒     20 - x = 200/31


Tendremos que coger  420/31 litros  de la leche de tipo A, y  200/31 litros  de la leche de tipo B.

Se mezclan vinos de 13€ el litro y de 9€ el litro. ¿Qué cantidad de la primera clase hay que añadir a 80 litros de la segunda, para que vendiéndolo a 10,5€ se gane el 10%?


Para ganar el 10% en el precio de coste habrá que ganar el 10% en cada uno de los vinos que se mezclan.


            El 10% de 13€ es:     (10 · 13)/100 = 1,3 €


El primer vino tenemos que venderlo a:     13 + 1,3 = 14,3 €


            El 10% de 9€ es:     (10 · 9)/100 = 0,9 €


El segundo vino tenemos que venderlo a:     9 + 0,9 = 9,9 €



Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:

  Cantidad Precio Coste
Vino A x 14,3 14,3x
Vino B 80 9,9 80 · 9,9
Mezcla x + 80 10,5 (x + 80) · 10,5

La cantidad total de la mezcla es la suma de ambos tipos de vino. Por tanto, si tenemos  x  litros de vino de tipo A, y  80  litros de vino de tipo B, el total será:     x + 80


Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:


14,3x  +  80·9,9  =  (x + 80) · 10,5


Resolvemos la ecuación de primer grado:


           14,3x  +  80·9,9  =  (x + 80) · 10,5     ⇔     14,3x + 792 = 10,5x + 840     ⇔     3,8x = 48     ⇔     x ≈ 12,63


Tendremos que tomar  12,63 litros  de vino de 13€ el litro.