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Problemas resueltos de trabajo

Planteamiento general de un problema de trabajo:



Supongamos que tenemos 2 obreros y un trabajo a realizar.


            •  En una hora, el primer obrero hace  1/t1  del trabajo.


            •  En una hora, el segundo obrero hace  1/t2  del trabajo.



En una hora, los dos obreros juntos habrán hecho   1/T:


                                                sin_desague

Dos obreros necesitan 18 días para terminar juntos una obra. Sabiendo que separados, uno de ellos necesita 15 días más que el otro, averiguar cuánto tiempo invertirá cada obrero en terminar la obra trabajando por separado.


Sea  t1 = x los días que necesita el primer obrero. Entonces, en un día habrá hecho:      1/t1 = 1/x


Si el segundo tarda 15 días más que el primero:     x + 15


Por tanto, en un día habrá hecho:     1/(x + 15)


Por otro lado, si entre los dos obreros tardan en hacer la obra 18 días, en un día harán:     1/18


Aplicamos la fórmula general a los datos que tenemos:


trabajo1


Resolvemos la ecuación aplicando:          m.c.m.(x, x + 15) = x(x + 15)



Quitamos denominadores:


            18 (x + 15 + x ) = x(x + 15)     ⇔     18(2x + 15) = x2 + 15x     ⇔     36x + 270 = x2 + 15x     ⇔     x2 - 21x - 270 = 0


            


Descartamos  x = -9 , ya que el tiempo no puede ser negativo.


Luego si x = 30, entonces:     x + 15 = 45


El primer obrero tarda  30 días  y el segundo  45 días.

Dos obreros tienen que hacer una obra. Haciendo cada uno la mitad tardan 25/2 horas, pero trabajando juntos hacen el trabajao en 6 horas. ¿Cuánto tardaría uno solo en hacer toda la obra?


Sea  t1 = x  el tiempo que tarda el primer obrero en hacer la obra completa. En una hora hará:     1/t1 = 1/x


Pero si hace la mitad de la obra, tardará:     x/2


Sea  t2 = y  el tiempo que tarda el segundo obrero en hacer la obra completa. En una hora hará:     1/t2 = 1/y


Pero si hace la mitad de la obra, tardará:     y/2


Si trabajan la mitad de la obra, tenemos la ecuación:


            trabajo2_a


Si hacen la obra completa tardan 1/6 horas, por tanto:


trabajo2_b


Sustituimos por  y = 25 - x  y resolvemos:


            


Aplicamos:     m.c.m.(x, 25 - x) = x(25 - x)


            


            


            


            trabajo2_sol


Si  x = 15     ⇒     y = 25 - x = 10


Si  x = 10     ⇒     y = 25 - 10 = 15


Tardarán  15 horas  y  10 horas  respectivamente.