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Problemas geométricos resueltos

Figuras planas

Nombre Dibujo Perímetro Área
Cuadrado formulas cuadrado P = 4a A = a2
Rectángulo formulas rectangulo P = 2b + 2a A = ba
Rombo formulas rombo P = 4a area rombo
Romboide formulas romboide P = 2a + 2b A = b h
Trapecio formulas trapecio P = a + B + b + c area trapecio
Trapecio
isósceles
trapecio isosceles P = 2a + B + b area trapecio
Triángulo formulas triangulo P = a + b + c

semiperimetro
area triangulo
area triangulo
Triángulo
equilátero
triangulo equilatero P = 3a

altura triangulo equilatero
area triangulo equilatero
Triángulo
rectángulo
formulas triangulo rectangulo P = a + b + c

a2 = b2 + c2
area triangulo rectangulo
Hexágono
regular
formulas hexagono P = 6l = 6R

ap = apotema
apotema hexagono
area hexagono
Pentágono
regular
formulas pentagono P = 5l ap = apotema

area pentagono
Círculo formulas circulo circunferencia L = 2πR A = πR2
Sector
circular
sector circular longitud sector circular
L = R α

P = 2R + L
area sector grados
area sector radianes       
Corona
circular
corona de esfera L = 2π (R + r) A = π (R - r)
Elipse formulas elipse longitud elipse A = π a b

Cuerpos en el espacio

  Dibujo Área Volumen
Cubo formulas cubo diagonal cubo

A = 6 a2
V = a3
Ortoedro formulas ortoedro diagonal ortoedro

A = 2( a·b + a·c + b·c )
V = a · b · c
Prisma prisma PB = perímetro de la base

AL = PB · h
AT = AL + 2·AB
V = AB h
Pirámide formulas piramide PB = perímetro base
Ap = apotema pirámide
ap = apotema de la base
Ap2 = h2 + ap2

area lateral piramide
AT = AL + AB
volumen piramide
Cilindro formulas cilindro AL = 2 π R h
AB =2 π R2
AT = 2 π R (h + R)
V = π R2 h
Cono formulas cono g2 = R2 + h2

AL = π R g
AB = π R2
AT = π R (g + R)
volumen cono
Tronco
de cono
tronco de cono AL = π (R + r) g

AT = π [ g(R + r) + R2 + r2 ]
volumen tronco de cono
Esfera formulas esfera A = 4 π R2 volumen esfera
Cuña cuña A = área cara superior
AB = área base

A = AB sec θ
 

¿Cuánto mide un ángulo si su complementario es el doble más 15º?


Dos ángulos son complementarios si suman 90º.


Sea x uno de dicho ángulos.


El ángulo complementario de x mide el doble de x más 15º, luego medirá:     2x + 15º


La suma de ambos ángulos mide 90º, es decir:


Ángulo + Complementario = 90º


x + (2x + 15º) = 90º


Resolvemos la ecuación de primer grado:


            x (2x + 15º) = 90     ⇔     3x + 15º = 90º     ⇔     3x = 75º     ⇔     x = 25º


El ángulo buscado es de  25º.

1)  Si un lado del triángulo mide un tercio del perímetro, el segundo 7 metros y el tercero un quinto del perímetro, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo?


El perímetro de una figura geométrica es la suma de sus lados:     p = a + b + c


Sea p el perímetro del triángulo.


Uno de los lados mide un tercio de p, luego:     p/3


El tercer lado mide un quinto del p, luego:     p/5


triangulo


Como p es la suma de los lados del triángulo:


geom_triang


Resolvemos la ecuación de primer grado:


            m.c.m.(3,5) = 15


            15p = 5p + 3p + 15·7     ⇔     15p = 8p + 105     ⇔     7p = 105     ⇔     p = 15


El perímetro del triángulo mide  15 metros.




2)  El área de un triángulo rectángulo es 96 cm2, y la diferencia entre la suma de los catetos y la hipotenusa es 8 cm. Halla los valores de los lados.


Sean x e y los valores de los catetos. Entonces, la hipotenusa mide:     (x + y) - 8


El área del triángulo (rectángulo) es:     xy/2 = 96


triang_rect


Por otro lado, aplicando el teorema de pitágoras tenemos:     x2 + y2 = (x - y - 8)2


Tenemos por tanto el siguiente sistema a resolver:


sist_triang_rect


Simplificamos ambas ecuaciones:


            xy/2 = 96     ⇔     xy = 192


            x2 + y2 = (x - y - 8)2     ⇔     x2 + y2 = x2 + y2 + 64 + 2xy - 16x - 16y     ⇔     0 = 64 + 2xy - 16x - 16y     ⇔     16x + 16y - 2xy = 64


Como  xy = 192  , la segunda ecuación queda:


            16x + 16y - 2·192 = 64     ⇔     16x + 16y - 384 = 64     ⇔     16x + 16y = 448     ⇔     x + y = 28


Resolvemos el sistema mediante sustitución. Despejamos la variable x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:


            xy = 192     ⇒     x = 192/y


            triang_sol1


            triang_sol2


            triang_sol3


            Si  y = 16     ⇒     x = 192/y = 12


            Si  y = 12     ⇒     x = 192/y = 16


En ambos casos, la hipotenusa medirá lo mismo:     x + y - 8 = 12 + 16 - 8 = 20


Por tanto, las medidas de los lados del triángulo son   12, 16  y  20 cm.

1)  Si se disminuyen 4 metros al lado de un cuadrado, se obtiene otro de 128 m2 menos que el primero. ¿Cuánto medía el lado?


Sea x el lado que queremos calcular.


Entonces, el área del cuadrado de lado x es:     x2


Si disminuimos en 4 metros el lado, tendremos un segundo cuadrado de lado  x - 4  cuya área es:     (x - 4)2


cuadrados


El segundo cuadrado mide 128 m2 menos que el primero, luego:


x2 - (x - 4)2 = 128


Resolvemos la ecuación:


            x2 - (x - 4)2 = 128     ⇔     x2 - (x2 - 8x + 16) = 128     ⇔     8x - 16 = 128     ⇔     8x = 144     ⇔     x = 18


El lado medía  18 metros.




2)  Los lados de dos cuadrados suman 131 m. Con sus diagonales se forma un rectángulo cuya área es 8540 m2. Hallar dichos lados.


Sea x el lado de uno de los cuadrados.


Entonces, el lado del segundo cuadrado medirá:     131 - x


rectangulo


Aplicando el teorema de pitágoras, podemos calcular sus respectivas diagonales:


             D 1  =  x 2  + x 2  =  2x 2  = x 2


             D 2  =  ( 131x ) 2  +  ( 131x ) 2  =  2 ( 131x ) 2  =  ( 131x ) 2 2


El rectángulo que forman ambas diagonales tiene un área de 8540 m2, luego:


D1 · D2 = 8540


2x · (131 - x) = 8540


Resolvemos la ecuación:


            2x · (131 - x) = 8540     ⇔      262x - 2x2 = 8540     ⇔     2x2 - 262x + 8540 = 0


Dividiendo entre 2:


            x2 - 131x + 4270 = 0


             x =   ( 131 ) ±  ( 131 ) 2 414270 21  =  131 ± 9 2  = { x = 70 x = 61


Si  x = 70     ⇒     131 - x = 61


Si  x = 61     ⇒     131 - x = 70


Los lados tienen que medir  70  y  61 metros  respectivamente.

Un rectángulo mide 16 cm de ancho y 20 cm de largo. ¿Cuánto debe aumentar de ancho y disminuir de largo para que su área aumente en 22 cm2 y su perímetro en 2 cm?


Sea x lo que aumenta de ancho, y sea y lo que aumenta de largo.


rectang_modif


El rectángulo resultante medirá  (16 + x)  cm  de ancho y  (20 - y)  cm  de largo.


Figura Área Perímetro
Primer rectángulo 16 · 20 = 320 2·16 + 2·20 = 72
Segundo rectángulo (16 + x)(20 - y) 2(16 + x) + 2(20 - y)

El área del segundo rectángulo mide 22 cm2 más que el área del primero, luego:      (16 + x)(20 - y) = 320 + 22


El perímetro del segundo rectángulo mide 2 cm más que el del primero, luego:;      2(16 + x) + 2(20 - y) = 72 + 2


Simplificamos ambas ecuaciones:


            (16 + x)(20 - y) = 320 + 22     ⇔     320 + 20x - 16y - xy = 342     ⇔     20x - 16y - xy = 22


            2(16 + x) + 2(20 - y) = 72 + 2     ⇔     32 + 2x + 40 - 2y = 74     ⇔     2x - 2y 72 = 74     ⇔     2x - 2y = 2     ⇔     x - y = 1


sist_rectangulo


Resolvemos el sistema por el método de sustitución despejando la incógnita x de la segunda ecuación:


            x - y = 1     ⇔     x = 1 + y


           20x - 16y - xy = 22     ⇒     20(1 + y) - 16y - (1 + y)y = 22     ⇒     20 + 20y - 16y - y - y2 = 22     ⇒     y2 - 3y + 2 = 0


            geom5_solucion


            Si  y = 2     ⇒     x = 1 + y = 3


            Si  y = 1     ⇒     x = 1 + y = 2


El problema tiene dos soluciones:


Aumentar el ancho en   3 cm   y disminuir el largo en   2 cm .


Aumentar el ancho en   2 cm   y disminuir el largo en   1 cm .

Los lados de un trapecio isósceles miden 5, 5, 5 y 13 metros respectivamente. ¿Cuál es el área del trapecio?


Un trapecio isósceles es aquel que tiene iguales dos de sus lados no paralelos. Recordamos que el área de un trapecio es:


area_trapecio


Como dos de los lados del trapecio tienen que tener igual longitud, sus medidas serán 5 y 5. Las medidas restantes serán entonces las de las bases:  5  y  13


Para poder calcular su área nos falta conocer su altura, h.


trapecio


Observamos que:     x + 5 + x = 13     ⇒     2x = 8     ⇒     x = 4


Podemos calcular h usando el teorema de pitágoras en el triángulo rectángulo que aparece sombreado, para ello tendremos en cuenta que x = 4.


            x2 + h2 = 52     ⇒     h2 = 52 - x2 = 25 - 16 = 9     ⇒     h = 3


Finalmente, el área del trapecio es:


trapecio_sol

El lado de un rombo es 5 cm y su área es 24 cm2. Calcula la longitud de sus diagonales.


El área de un rombo viene dado por:


area_rombo


Sea x su diagonal mayor e y su diagonal menor.


Según el área del rombo tenemos:       y 2  = 24              x =  48 y


Como tenemos dos incógnitas, nos hace falta una segunda ecuación.


rombo


Podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que está sombreado en la figura.


            rombo_pitagoras


Reuniendo ambas ecuaciones tenemos el siguiente sistema:


rombo_sist


Lo resolvemos mediante el método de sustitución.


            rombo_sol1


            rombo_sol2


            rombo_sol3


Se trata de una ecuación bicuadrática. Para resolverla hacemos el cambio de variable:     z = y2


Nos queda una ecuación de segundo grado:     z2 - 100z + 2304 = 0


             rombo_sol4


Si  z = 64     ⇒     z = y2     ⇒     y = ±√z = ±√64 = ±8


Si  z = 36     ⇒     z = y2     ⇒     y = ±√z = ±√36 = ±6


Las longitudes no pueden ser negativas, así que descartamos la solución negativa.


Si  y = 8     ⇒      x = 48/y = 48/8 = 6


Si  y = 6     ⇒      x = 48/y = 48/6 = 8


Como x es la diagonal mayor medirá  8 cm  , y por tanto, la diagonal menor y mide 6 cm.

Sean dos cubos cuyas aristas difieren en 2 cm y sus volúmenes en 56 cm3. Halla el valor de las aristas.


Sea  x  el lado del cubo pequeño. Su volúmen es:     x3


Sea  x + 2  el lado del cubo grande. Su volúmen es:    (x + 2)3


cubos


Sus dos volúmenes difieren en 56 cm3, luego:


(x + 2)3 - x3 = 56


Resolvemos la ecuación:


            (x + 2)3 - x3 = 56     ⇒     (x3 + 6x2 + 12x + 8) - x3 = 56     ⇒     6x2 + 12x + 8 = 56     ⇒     6x2 + 12x - 48 = 0     ⇒     x2 + 2x - 8 = 0


            cubo_sol


Como la longitud de las aristas no puede ser negativa, descartamaos la solución x = - 4. Por tanto, si x = 2, el lado del cubo grande mide x + 2 = 4 cm.


Los lados de los cubos son  2 y 4 cm.

Los perímetros de las caras de un orotoedro son 54, 80 y 98 cm, respectivamente. Halla los lados, el área total y el volumen del ortoedro.


El perímetro de una figura geométrica es la suma de sus lados.


Sean x,  y,  z  el ancho, el largo y el alto del tetraedro respectivamente.


tetraedro


Un tetraedro tiene tres caras distintas. Para escribir la ecuación del perímetro de cada cara contamos sus respectivas aristas. Tendremos por tanto tres ecuaciones (una por cada cara):


tetraedro_sist


Resolvemos el sistema por el método de reducción:


            tetraedro_sol1


            tetraedro_sol2


Si  z = 31     ⇒     y - z = - 13     ⇒     y = - 13 + z = - 13 + 31 = 18


Si  y = 18     ⇒     x + y = 27     ⇒     x = 27 - y = 27 - 18 = 9


Los lados del ortoedro son:     x = 9 , y = 18 , z = 31


El área del tetraedro es la suma de las áreas de los lados:


A = 2xy + 2xz + 2yz = 2 · 9· 18 + 2 · 9 · 31 + 2 · 18 · 31 = 1998 cm2


El volúmen del tetraedro es:


V = xyz = 9· 18 · 31 = 5022 cm3

Con una cartulina de 240 cm2 de superficie hacemos un prisma de base cuadrada, sin bases, cuyo volumen es de 360 cm3. ¿Cuáles son las dimensiones de la cartulina?


Sean x e y las dimensiones de la cartulina.


El área de la cartulina es:      xy = 240


Si formamos un prisma sin base el largo de la cartulina (x) queda dividido en cuatro partes, una para cada cara del prisma.


cartulina


Por tanto, tendremos un prisma cuyas dimensiones serán  x/4 , x/4  e  y  de largo, ancho y alto respectivamente.


El volumen del prisma es:     x/4 · x/4 · y = 360


Nos queda el siguiente sistema a resolver:


cartulina_sist


Aplicamos el método de igualación despejando la variable y en ambas ecuaciones:


            cartulina_sist1


            cartulina_sist2


Igualamos ambos resultados:


            cartulina_sist3


            cartulina_sist4


            cartulina_sist5


Como x ≠ 0 , necesariamente:     240x - 5760 = 0     ⇔     240x = 5760     ⇔     x = 24 cm


Si  x = 24    ⇒     y = 240/x = 10 cm


La cartulina mide 24 cm de largo y 10 cm de alto.