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Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado

Ejercicios de ecuaciones completas de segundo grado:


1)   x2 - 5x + 6 = 0



ecuacion_2grado




2)   x2 + 10x + 25 = 0



ecuacion_2grado




3)   x2 + 2x + 2 = 0



ecuacion_2grado



Por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.




4)   5x2 - 9x + 4 = 0



ecuacion_2grado




5)   x2 + 3x + 1 = 0



ecuacion_2grado




Ejercicios de ecuaciones incompletas de segundo grado:


A)   ax2 + bx + c = 0   cuando   c = 0


1)   x2 + x = 0



ecuacion_2grado




2)   4x2 + 12x - 9 = - 9



4x2 + 12x - 9 + 9 = 0


4x2 + 12x = 0



ecuacion_2grado




B)   ax2 + bx + c = 0   cuando   b = 0


3)   x2 - 3 = 0



x2 = 3



ecuacion_2grado




4)   4x2 - 25 = 0



4x2 = 25



ecuacion_2grado



Resuelve las siguientes ecuaciones:


1)   (x + 6) (x - 6) - 8 = 1 - 4x

x2 - 36 - 8 = 1 - 4x

x2 + 4x - 45 = 0

ecuacion_2grado



2)   (2 - x) (5x + 1) - (3 + x) (x - 1) + 8x2 - 15x + 3 = 0

10x + 2 - 5x2 - x - 3x + 3 - x2 + x + 8x2 - 15x + 3 = 0

2x2 - 8x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

ecuacion_2grado



3)   (x + 2) (x - 3) - x(2x + 1) + 6x = 0

x2 - 3x + 2x - 6 - 2x2 - x + 6x = 0

- x2 + 4x - 6 = 0

x2 - 4x + 6 = 0

ecuacion_2grado

Por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.



     

      x (x - 1)(x + 1) = 8 [ x - 1 + x + x + 1 ]    ⇔    x (x2 - 1) = 8 · (3x)    ⇔    x (x2 - 1) - 24x = 0    ⇔    x ( x2 - 25) = 0    ⇔     {  x = 0  x 2   25 = 0             x 2  = 25            x = ±5


5)   (18 - x)2 = (16 - x)2 + (9 - x)2

      (18 - x)2 = (16 - x)2 + (9 - x)2    ⇔    324 - 36x + x2 = 256 - 32x + x2 + 81 - 18x + x2    ⇔    x2 - 14x + 13 = 0


       x =  ( 14 ) ±  ( 14 ) 2  - 4113 21  =  14 ±  144 2  =  14 ± 12 2  ={ x = 13 x = 1


6)   (x + 2)3 - x3 = 56

            (x + 2)3 - x3 = 56     ⇒     (x3 + 6x2 + 12x + 8) - x3 = 56     ⇒     6x2 + 12x + 8 = 56     ⇒     6x2 + 12x - 48 = 0     ⇒     x2 + 2x - 8 = 0


            cubo_sol


Ejercicios de ecuaciones racionales de segundo grado:


1)   x +  1 x  =  10 3



m.c.m. (3, x) = 3x


Para hacerlo de forma rápida dividimos el m.c.m. entre el denominador


y multiplicamos por el numerador en cada término.



3x2 + 3 = 10x


3x2 - 10x + 3 = 0



ecuacion_2grado




2)    6 x - 1  -  10 x + 2  =  4 x + 1



m.c.m. (x - 1, x + 2, x + 1) = (x - 1) (x + 2) (x + 1)


Para hacerlo de forma rápida dividimos el m.c.m. entre el denominador


y multiplicamos por el numerador en cada término.



6(x + 2)(x + 1) - 10(x - 1)(x + 1) = 4(x - 1)(x + 2)


6x2 + 18x + 12 - 10x2 + 10 = 4x2 + 4x - 8


- 8x2 + 14x + 30 = 0


4x2 - 7x - 15 = 0



ecuacion_2grado




Ejercicios de ecuaciones de segundo grado con literales:


En estas ecuaciones las incógnitas se representan con las letras  x ,  y ,  z.


Mientras que las letras  a ,  b ,  c ,  m ,  n  se utilizan como constantes.


1)   x2 - 7ax + 12a2 = 0



ecuacion_2grado




2)   x2 - (a + b)x + ab = 0



ecuacion_2grado




3)    y 2  -  m 2  + n 2 mn y + 1 = 0



ecuacion_2grado




4)    x b ( a + b )  +  a ( a + b ) x  =  1 b



m.c.m. (b, a + b, x) = b (a+b) x


Para hacerlo de forma rápida dividimos el m.c.m. entre el denominador


y multiplicamos por el numerador en cada término.



x2 + ab = (a + b)x


x2 - (a + b)x + ab = 0


Esta ecuación es la misma del apartado 2)


Es decir, x1 = a   y   x2 = b



Propiedades de ecuaciones de segundo grado:


1)   Calcula   m   para que   x2 + mx + 25 = 0   tenga una solución.



ec_2grado_prop




2)   Calcula   n   para que   x2 - 4x + n = 0   no tenga soluciones.



ec_2grado_prop




3)   Calcula   m   para que   mx2 + 8x + 5 = 0   tenga dos soluciones.



ec_2grado_prop




4)   En las siguientes ecuaciones hallar la suma y producto de las raíces:


ax2 + bx + c = 0


prop_suma


prop_producto


prop_suma_prod



a) x2 + 10x + 9 = 0


prop_suma_prod



b) x2 - 8x + 7 = 0


prop_suma_prod




5)   Forma las ecuaciones de segundo grado que tengan por raíces:


a)   x1 = 3   y   x2 = 4


S = 3 + 4 = 7


P = 3 · 4 = 12


Por lo tanto la ecuación es:


x2 - 7x + 12 = 0



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


(x - 3) (x - 4) = x2 - 7x + 12 = 0




b)   x1 = - 1   y   x2 = 5


S = - 1 + 5 = 4


P = (- 1) · 5 = - 5


Por lo tanto la ecuación es:


x2 - 4x - 5 = 0



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


(x + 1) (x - 5) = x2 - 4x - 5 = 0




c)   x1 = - 20   y   x2 = - 2


S = - 20 - 2 = - 22


P = (- 20) · (- 2) = 40


Por lo tanto la ecuación es:


x2 + 22x + 40 = 0



También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


(x + 20) (x + 2) = x2 + 22x + 40 = 0




d)    x 1  = 5   y   x 2  =  1 5


S = 5 +  1 5  =  26 5 P = 5   1 5  = 1


Por lo tanto la ecuación es:


x 2  -  26 5  x + 1 = 0 5x 2  - 26x + 5 = 0


También podemos encontrar la ecuación de segundo grado factorizando:


( x - 5 ) ( x -  1 5 )  = x 2  -  26 5  x + 1 = 5x 2  - 26x + 5 = 0



Propiedades de ecuaciones de segundo grado:


1)   Hallar dos números que tengan:


a)   Por suma   - 3   y por producto   - 28.


Los números buscados son las ráices de la ecuación:


x2 + 3x - 28 = 0



raices




b)   Por suma   - 8   y por producto   12.


Los números buscados son las ráices de la ecuación:


x2 + 8x + 12 = 0



raices




2)   En la ecuación   x2 + Kx - 28 = 0 ,   hallar el valor


de   K   sabiendo que una de las raíces es   - 7.


K = x1 + x2   y   - 28 = x1·x2


Por lo tanto:   - 28 = (- 7)·x2


De aquí obtenemos que,   x2 = 4


Y por lo tanto,   K = - 7 + 4 = -3


Luego la solución es:   K = - 3




3)   En la ecuación   K(x2 - 5x + 1) - 6(x+2) + 4(K - x) - 65 = 0 ,


hallar el valor de   K   sabiendo que una de sus raíces es   x = - 2.


Como   x = 2   es una raíz, satisface la ecuación anterior.


K·[(- 2)2 - 5·(- 2) + 1] - 6·[(- 2) + 2] + 4·[K - (- 2)] - 65 = 0


15K + 4(K + 2) - 65 = 0


15K + 4K + 8 - 65 = 0


19K = 57


Por lo tanto,   K = 3




Propiedades de ecuaciones de segundo grado:


1)   Hallar   m   para que las raíces de   x2 - 6mx + 9m2 = 0   sean iguales.


Para que las raíces sean iguales el discriminante de la ecuación debe ser igual a 0.


prop_2grado



Por lo tanto cualquier valor real de   m   lo cumple.



2)   Hallar   m   para que las raíces de   x2 - (m + 1)x + 2m + 3 = 0   difieran en 4 unidades.


S = x1 + x2 = x1 + (x1 + 4)


2·x1 + 4 = m + 1


P = x1 · x2 = x1·(x1 + 4)


x12 + 4x1 = 2m + 3



Por lo tanto tenemos el siguiente sistema:


{ 2x 1  + 4 = m + 1     x 1 2  + 4x 1  = 2m + 3



De la primera ecuación obtenemos que:


x 1  =  m - 3 2


Sustituyendo en la segunda ecuación obtenemos:


( m - 3 2 ) 2  + 4( m - 3 2 ) = 2m + 3 ( m - 3 ) 2 4  + 2( m - 3 ) = 2m + 3



m.c.m. (1, 4) = 4


Dividiendo el m.c.m. entre el denominador y multiplicando


por el numerador en cada término llegamos a:



(m - 3)2 + 8(m - 3) = 4(2m + 3)


m2 - 6m + 9 + 8m - 24 = 8m + 12


m2 - 6m - 27 = 0



A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado:



ecuacion_2grado




También podemos encontrar la solución factorizando:



(x - x1) [x - (x1 + 4)] = x2 - (m + 1)x + 2m + 3


(x - x1) (x - x1 - 4) = x2 - (m + 1)x + 2m + 3


x2 - x·x1 - 4x - x·x1 + x12 + 4·x1 = x2 - (m + 1)x + 2m + 3


x2 - (2x1 + 4)x + (x12 + 4·x1) = x2 - (m + 1)x + 2m + 3



Igualando los coeficientes de cada término de la ecuación de segundo grado obtenemos:



{ 2x 1  + 4 = m + 1     x 1 2  + 4x 1  = 2m + 3



Es decir, el mismo sistema de ecuaciones que con el método anterior.




3)   Calcula   m   para que la ecuación   x2 - 8mx + m + 1 = 0   tenga una raíz el triple de la otra.


Si una raíz es el triple de la otra, entonces:   x1 = x   y   x2 = 3x


S = x + 3x = 8m


P = x · 3x = m + 1


Por lo tanto tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:


{ 4x = 8m 3x 2  = m + 1


De la primera ecuación obtenemos que:


x = 2m


Si sustituimos el valor de   x   en la segunda ecuación resulta:


3 · (2m)2 = m + 1


12m2 - m - 1 = 0


A continuación resolvemos la ecuación de segundo grado para resolver el problema.



ecuacion_2grado