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Problemas resueltos sobre números I

1.   Calcular un número tal que sus 3/4 aumentados en 5 unidades equivalgan a 5/6 del mismo.



Llamaremos al número que buscamos 'x'.


Los  3/4 de x  es:  3x/4


Los  3/4 de x  aumentados en 5 unidades:   3x/4 + 5


Los  5/6 de x  es:   5x/6


lineal1


Resolvemos la ecuación:


      


      


Despejando:    x = 6


El problema tiene una única solución:   x = 60




2.   Restando 5 a los 2/3 de un número, se obtiene el mismo resultado que sumando 2 a los 3/5 de dicho número. ¿Cuál es dicho número?



Llamaremos al número que nos piden 'x'.


Los 2/3 de x es:    2x/3


Y si le restamos 5 a dicho número:    2x/3 - 5


Por otro lado, sumar 2 a los 3/5 de x es:    3x/5 + 2


Según el problema, se obtiene el mismo resultado en ambos casos, así que igualamos las expresiones anteriores:


lineal2


Resolvemos la ecuación:


      


      


El problema tiene una única solución:    x = 105




1.  Halla un número cuyos cocientes por 3, 5 y 7 sumen 71.



Sea 'x' dicho número.


Sus cocientes por 3, 5 y 7 son:    x/3 , x/5 , x/7


Si dichos cocientes tienen que sumar 71, tenemos la siguiente ecuación:


lineal4


Resolvemos la ecuación:


      


      


El número pedido es:   x = 105




2.   Obtén un número tal que su triple menos 2 es su cuádruple menos 1.



Sea 'x' dicho número.


Su triple es:   3x


Y su cuádruple:   4x


Por tanto, la ecuación a resolver es:


lineal5


Resolviendo:


      - 2 + 1 = 4x - 3x    ⇔    - 1 = x


La solución al problema es:    x = - 1




1.   Calcula dos números pares consecutivos, cuya diferencia de sus cuadrados sea 60.



Llamaremos 'x' al primero de dichos números.


Como nos piden dos números pares consecutivos, consideraremos:   x  ,  x + 2


Y sus cuadrados serán:   x2  ,  (x + 2)2


La diferencia entre sus cuadrados es 60, luego:


lineal3


Resolvemos la ecuación:


      (x + 2)2 - x2 = 60    ⇔    x2 + 4x + 4 - x2 = 60    ⇔    4x + 4 = 60    ⇔    4x = 56    ⇔    x = 14


Los números son:    14  y  16.




2.   Sumar un mismo número al numerador y al denominador de  2/5  para que resulte  5/6.



Sea 'x' dicho número.


Si sumamos x tanto al numerador como al denominador de 2/5 tenemos:



Como tiene que resultar 5/6, tenemos la siguiente ecuación:


lineal7


La resolvemos:


      


      


      


El número que buscamos es:    x = 13

1.   Encontrar dos números enteros consecutivos sabiendo que la suma de la cuarta parte y la quinta parte del primero y la suma de la tercera y séptima partes del segundo son también números consecutivos.



Llamaremos al primero de dichos números 'x'.


Buscamos dos números consecutivos, por tanto consideraremos:    x  ,  x + 1


La expresión "suma de la cuarta parte y la quinta parte del primero" describe la expresión algebraica:    x/4 + x/5


Por otro lado, "suma de la tercera y séptima partes del segundo" describe la expresión algebraica:    


El problema explica que ambas sumas dan como resultado dos números, los cuales, uno es el consecutivo del otro, es decir:


lineal6


Resolvemos la ecuación:


      


      


      


      


      


Los dos números buscados son:    20 y 21




2.   La suma de dos números es 65, los cocientes de estos números con un tercero son 3 y 2, teniendo como restos 6 y 9 respectivamente. Hallar la diferencia positiva de éstos números.



De forma general, podemos escribir algebraicamente una división de la siguiente forma:


cociente


Sean 'A' y 'B' dos números cuya suma es 65, entonces:    A + B = 65


Llamemos 'x' al tercer número que menciona el problema. Entonces, según el problema se tiene que:



A = 3x + 6            B = 2x + 9


Por tanto, sustituyendo en A + B = 65 , nos queda una ecuación en función de la variable x:


lineal9


La resolvemos:


      (3x + 6) + (2x + 9) = 65    ⇔    3x + 2x = 65 - 9 - 6    ⇔    5x = 50    ⇔    x = 10


Luego:    A = 3x + 6 = 3· 10 + 6 = 36


              B = 2x + 9 = 2 · 10 + 9 = 29


Nos piden la diferencia positiva entre A y B:    A - B = 7




1.   Un número entero al ser dividido por 5, 6 y 7 da de resto los números 3, 4 y 0 respectivamente. Encuentre dicho número sabiendo que el doble de la suma de sus cocientes es igual al número disminuido en 2.



De forma general, podemos escribir algebraicamente una división de la siguiente forma:


cociente


Llamaremos a dicho número entero 'x'.


Escribimos la expresión algebraica correspondiente a cada una de las divisiones descritas en el problema:



x = 5·c1 + 3         x = 6·c2 + 4                   x = 7·c3


Ahora tenemos que escribir algebraicamente la expresión "el doble de la suma de sus cocientes es igual al número disminuido en 2".


Escribimos las expresiones anteriores en función de los cocientes:    c1 = (x - 3)/5      c2 = (x - 4)/6    c3 = x/7


La ecuación a resolver es:    2(c1 + c2 + c3) = x - 2


lineal8


La resolvemos:



El número que buscamos es:    x = 28