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Problemas resueltos de aleaciones

Planteamiento general de un problema sobre aleaciones:



La ley de la aleación es la relación entre el peso del metal fino (más valioso) y el peso total. Siendo la ley igual a 1 cuando el metal es puro.


Supongamos que queremos hacer una aleación con dos metales, A y B, cada uno con una ley de aleación distinta.


      •   CA    es la cantidad del metal A:               CA = x


      •   CB    es la cantidad del metal B:               CB = Ca - x


      •   Ca    es la cantidad total de la aleación:     Ca = CA + CB


      •   LA    es la ley de aleación del metal  A.


      •   LB    es la ley de aleación del metal  B.


      •   La    es la ley de aleación del metal resultante.



Tenemos la siguiente fórmula general:


                        CA · LA  +  CB· LB  =  Ca · La



También podemos poner los datos en una tabla:

  Cantidad Ley Metal
Metal A CA LA CA · LA
Metal B CB LB CB · LB
Aleación CA + CB La (CA + CB) · La

Un lingote de plata de 300 g de ley del 91 % (91 % de pureza) se funde con otro de 200 g de 82 % de ley. ¿Cuál es la ley del nuevo lingote?

Un joyero quiere construir una joya de plata de 40 g. de peso y de ley 0,900. Para ello dispone de dos lingotes de este metal con leyes 0,975 y 0,850. ¿Qué cantidad tiene que tomar de cada uno de estos lingotes para hacer la joya indicada?


Rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:

  Cantidad Ley Metal
Plata A x 0,975 0,975x
Plata B 40 - x 0,850 (40 - x) · 0,850
Aleación 40 0,900 40 · 0,900

La cantidad total de aleación (40 g) es la suma de ambos metales. Por tanto, si tenemos  x  gramos de plata de tipo A, la cantidad de plata de tipo B será:     40 - x


Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:


0,975x  +  (40 - x) · 0,850  =  40 · 0,900


Resolvemos la ecuación de primer grado:


            0,975x  +  (40 - x) · 0,850  =  40 · 0,900     ⇔     0,975x + 34 - 0,850x = 36     ⇔     0,125x = 2     ⇔     x = 16 g.


            Si  x = 16     ⇒     40 - x = 24 g.


El joyero tendrá que tomar  16 g.  de plata de ley 0,975 y   24 g.   de plata de ley 0,850.

Un orfebre tiene dos lingotes. El primero contiene 540 g. de oro y 60 g. de cobre. El segundo 400 g. de oro y 100 g. de cobre. ¿Qué cantidad deberá tomar de cada uno de ellos para formar otro lingote que pese 640 g. y cuya ley sea 0,825?


En primer lugar, calculamos las leyes de aleación de cada lingote. Para ello, tenemos que tener en cuenta que el oro es más valioso que el cobre.


            Lingote A:


                        


            Lingote B:


                        


En segundo lugar, rellenamos la tabla con los datos que nos da el problema:

  Cantidad Ley Metal
Lingote A x 0,9 0,9x
Lingote B 640 - x 0,8 (640 - x) · 0,8
Aleación 640 0,825 640 · 0,825

La cantidad total de aleación (640 g) es la suma de ambos metales. Por tanto, si tenemos  x  gramos del lingote A, la cantidad de gramos que tomemos del lingote B será:     640 - x


Aplicando la fórmula general a los datos que tenemos:


0,9x  +  (640 - x) · 0,8  =  640 · 0,825


Resolvemos la ecuación de primer grado:


            0,9x  +  (640 - x) · 0,8  =  640 · 0,825     ⇔     0,9x + 512 - 0,8x = 528     ⇔     0,1x = 16     ⇔     x = 160 g


            Si   x = 160     ⇒     640 - x = 420 g


El orfebre tendrá que tomar  160 gramos  del primer lingote y  420 gramos  del segundo.