Lugares geométricos del plano
Los lugares geométricos son un conjunto de puntos del plano que verifican una propiedad. Normalmente se pueden expresar mediante una ecuación.
Mediatriz de un segmento
Dado un segmento AB se denomina mediatriz de dicho segmento a la recta r que es perpendicular a dicho segmento por su punto medio M.
Es decir, la mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B.
Ejemplo:
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como extremos los puntos A(1, 4) y B(5, 0).
Según la primera definición, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio:
Calculamos la pendiente del segmento AB y la de su recta perpendicular:
La mediatriz es la recta que pasa por el punto M(3, 2) y tiene como pendiente m' = 1. Usamos la ecuación punto pendiente:
Otro método para calcular la mediatriz es con la definición del lugar geométrico, es decir, los puntos P(x, y) tales que d(A, P) = d(B, P):
Bisectriz de dos rectas
Dadas dos rectas r y s se denominan bisectrices de dichas rectas a las rectas b1 y b2 que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales.
Es decir, las bisectrices de dos rectas r y s son el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y de s.
Aplicando la definición del lugar geométrico obtenemos la siguiente expresión:
Según tomemos el signo en dicha expresión, obtendremos una u otra bisectriz.
Ejemplo:
Halla las bisectrices de los ángulos que forman las rectas:
r: 4x - 3y + 9 = 0
s: 12x + 5y - 7 = 0