INICIOEjercicios resueltos de segmentos, punto medio,
puntos de corte y simetria
1 - a ) Dados los puntos M(-1, 7) y N(5, 4) , hallar un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N .
1 - b ) Sabiendo que A(2, 4) y C(6, 0) , hallar las coordenadas del punto B del modo que AB = (1/4)AC .
2 - a ) Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A (-2, 3) y B (6,2) en tres partes iguales.
2 - b ) Divide en 5 partes iguales el segmento que tiene por extremos A( -5, 1) y B(5, 6).
3 ) Halla los puntos de corte de los ejes coordenados de la recta:
4 ) Encuentra las coordenadas del punto simétrico de A(1, 1) respecto a la recta r : x + y - 6 = 0
5 ) Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (2, 1) . Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que las coordenadas de B son (1, 2) .
6 ) Encuentra la ecuación de la recta simétrica de r respecto de la recta s:
7 ) Calcula la recta simétrica de r: 3x - y = 0 respecto de la simetría central con centro M(2, -1) .
8 ) Calcula la recta simétrica de r: x + y - 2 = 0 respecto de la recta s : x + y - 4 = 0 .
9 ) Calcula la recta simétrica de r: x + 2y - 3 = 0 respecto de la recta s : x + y = 4 .
1 - a ) Dados los puntos M(-1, 7) y N(5, 4) , hallar un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N .
1 - b ) Sabiendo que A(2, 4) y C(6, 0) , hallar las coordenadas del punto B del modo que AB = (1/4)AC .
2 - a ) Halla los puntos que dividen al segmento de extremos A (-2, 3) y B (6,2) en tres partes iguales.
2 - b ) Divide en 5 partes iguales el segmento que tiene por extremos A( -5, 1) y B(5, 6).
3 ) Halla los puntos de corte de los ejes coordenados de la recta:
Por lo tanto, los puntos de corte con los ejes coordenados son (0, 4) y (-4, 0)
4 ) Encuentra las coordenadas del punto simétrico de A(1, 1) respecto a la recta r : x + y - 6 = 0
Para calcular el punto simétrico de A(1, 1) , tenemos que calcular una recta s que sea perpendicular a r y que pase por A . Para ello utilizamos el vector normal a la recta r y la ecuación continua de la recta:
A continuación calculamos el punto M que es la intersección de las dos rectas:
Por último, aplicamos la fórmula del punto medio del segmento AA':
5 ) Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (2, 1) . Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que las coordenadas de B son (1, 2) .
Aplicamos la fórmula del punto medio del segmento AB:
6 ) Encuentra la ecuación de la recta simétrica de r respecto de la recta s:
7 ) Calcula la recta simétrica de r: 3x - y = 0 respecto de la simetría central con centro M(2, -1) .
Tomamos dos puntos que pertenezcan a la recta r y se calculan sus puntos simétricos respecto a M(1, 2):
A continuación buscamos dos puntos P' y Q' teniendo en cuenta que M será el punto medio de los segmentos PP' y QQ' :
La recta que buscamos es la que pasa por los puntos P' y Q' :
8 ) Calcula la recta simétrica de r: x + y - 2 = 0 respecto de la recta s : x + y - 4 = 0 .
Tomamos dos puntos que pertenezcan a la recta r :
A continuación buscamos un punto que pertenezca a la recta s :
Calculamos los puntos simétricos a P y Q respecto al punto M:
La recta que buscamos es la que pasa por los puntos P' y Q' :
9 ) Calcula la recta simétrica de r: x + 2y - 3 = 0 respecto de la recta s : x + y = 4 .
La recta que buscamos pasa por el punto donde se intersecan las rectas r y s . Por lo tanto calculamos en primer lugar el punto de corte:
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos que:
Por lo tanto tenemos que:
A continuación elegimos un punto cualquiera de la recta s , por ejemplo P(-3, 3) . Para determinar el punto simétrico respecto a la recta s tenemos que hallar la recta perpendicular a s :
Una vez calculada la recta perpendicular a r que pasa por el punto P calculamos el punto de corte con la recta s :
De esta forma P0 es el punto medio del segmento PP' :
Así, la recta t que buscamos es la recta que pasa por los puntos P'(1, 7) y Q(5, -1) :
