INICIOElementos notables de un triángulo
Los centros del triángulo: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro
| Nombre | Dibujo | Elemento |
|---|---|---|
| Triángulo escaleno |
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Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto Es el centro de gravedad del triángulo. Dista 1/3 del lado y 2/3 del vértice. |
| Triángulo escaleno |
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Bisectriz: es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales Incentro: es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos del triángulo |
| Triángulo escaleno |  |
Mediatriz: es la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo Circuncentro: es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo |
| Triángulo acutángulo |
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Altura: segmento que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice Ortocentro: es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo |
| Triángulo rectangulo |  |
En un triángulo rectángulo el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo |
| Triángulo obtusángulo |  |
En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda fuera del triángulo |
| Triángulo equilatero |  |
En un triángulo equilatero coinciden el baricentro, circuncentro, ortocentro e incentro |
| Recta de Euler |  |
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Problemas resueltos de área y puntos notables de un triángulo
Coordenadas del baricentro
Si tenemos un triángulo con los siguientes vértices, el baricentro se calcula con la fórmula:
Calcula el baricentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 5), B(8, 3) y C(1, -2).
Utilizamos la fórmula anterior para calcular el baricentro:
Calcula el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 5) , B(8, 3) y C(1, -2).
Calculamos el punto medio del segmento AB:
A continuación la pendiente de la mediatriz del segmento AB:
Aplicamos la ecuación punto pendiente con los datos anteriores:
Por lo tanto, la mediatriz del segmento AB es:
Repetimos el proceso anterior para calcular la mediatriz del segmento AC:
Repetimos el proceso anterior para calcular la mediatriz del segmento CB:
Por lo tanto, el punto de intersección de las tres mediatrices es el circuncentro. Aunque hemos calculado las tres mediatrices, para hallar el circuncentro basta con calcular el punto de intersección de dos de ellas::
Es decir, el circuncentro del triángulo ABC es:
Calcula el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 5) , B(8, 3) y C(1, -2).
Calculamos en primer lugar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B y la pendiente de su recta perpendicular::
Aplicamos la ecuación punto pendiente que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por A y B:
Por lo tanto, la altura del segmento AB viene dado por la recta:
Repetimos el proceso anterior para calcular la mediatriz del segmento AC:
Repetimos el proceso anterior para calcular la mediatriz del segmento CB:
Calculamos la intersección de las tres rectas utilizando el método de reducción:
Por lo tanto, el ortocentro del triángulo ABC es:
Verifica que los tres puntos notables del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 5) , B(8, 3) y C(1, -2) , están alineados, es decir, que el baricentro, circuncentro y ortocentro están en la misma recta.
Los tres pontos notables son:
Calculamos la recta que pasa por G y H y verificamos que el punto C está contenido en dicha recta:
Por último, verificamos que el punto C está contenido en dicha recta:
Por lo tanto, los tres puntos están alineados, es decir, pertenecen a la misma recta, denominada recta de Euler..
Calcula el incentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A(2, 5) , B(8, 3) y C(1, -2).
Para hallar las bisectrices necesitamos conocer las rectas que pasan por los vértices del triángulo, utilizando la ecuación que pasa por dos puntos:
Calculamos en primer lugar la recta que pasa por los puntos A y B:
Calculamos de la misma manera las rectas que pasan por los puntos A y C y por los puntos B y C:
Para calcular las bisectrices utilizamos la siguiente fórmula:
Operando, se obtienen las bisectrices correspondientes:
Por lo tanto, el incentro del triángulo ABC es:
