Representación de funciones logarítmicas

Resumen de las propiedades de la función logaritmo neperiano

1	La función logarítmica es la inversa de la exponencial:      y = Ln x      ⇔      x = ey
2	La función    y = Ln x   tiene por dominio   { x ∈ R  |  x > 0 }   y por recorrido   R .
3	La función    y = Ln x   es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
4	La función   y = Ln x   es convexa o cóncava hacia abajo en todo su dominio.
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Representa gráficamente la función:  

Tipo de función

Función logarítmica.

Dominio y rango o recorrido

Al tratarse de una función logarítmica tenemos que estudiar los valores que sean mayores que 0 y además los valores que anulan al denominador al ser racional:

Al estar el denominador elevado al cuadrado, cualquier número menos el 0 cumple la condición:

   •   Dom(f) = R - {0} = (-∞, 0) ∪ (0, +∞)

Para hallar el recorrido de la función, invertimos las variables y calculamos el dominio de la variable y :

   •   Im(f) = R = (-∞, +∞)

Continuidad   y   tipos de discontinuidad

La función es continua en    R - {0} ,  es decir, es discontinua en el punto   x = 0

Puntos de corte con los ejes

   •   Corte con el eje OX:   f(x) = 0

        Los puntos de corte son:   (-1, 0)   y   (1, 0)

   •   Corte con el eje OY:   f(0)

        La función no está definida en   x = 0  ,   por lo tanto la función no corta al eje OY.

Intervalos de signo constante

Como los puntos de corte con el eje OX son   x = -1   y   x = 1   y además la función es discontinua en el punto   x = 0 , tenemos que estudiar los siguientes intervalos:     (-∞, -1) ,   (-1, 0) ,   (0, 1)   y   (1, +∞) :

En la gráfica se marcan los puntos de corte con los ejes, los puntos de distintinuidad y las regiones donde no hay curva.

Simetrías

Por lo tanto la función es simétrica respecto al eje OY .

Periodicidad

No es periódica porque las funciones logarítmicas nunca lo son.

Asíntotas

   •   Asíntotas verticales

Donde se anula la característica del logarítmo:

Por las características del logarítmo, sabemos que:

Es decir, existe una asíntota vertical en   x = 0 .

   •   Asíntotas horizontales

Para hallar las asíntotas horizontales tenemos que estudiar los límites de la función en el infinito:

A continuación calculamos la posición relativa de la curva respecto a la asíntota horizontal:

   •   Asíntotas oblicuas

Como la función tiene una asíntota horizontal, entonces no puede tener asíntotas oblicuas.

Monotonia: crecimiento y decrecimiento

Se halla la derivada primera, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

El numerador de la primera derivada no se anula para ningún valor, puesto que   x² ≠ -4   para cualquier valor de   x .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad sin incluir ninguno más puesto que no hay ningún valor que anule a la derivada primera:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Máximos y mínimos relativos

Por el apartado anterior sabemos que ningún valor anula a la primera derivada, por lo tanto la función no tiene puntos críticos. Es decir, la función no tiene máximos ni mínimos.

Curvatura y puntos de inflexión

Se halla la derivada segunda, se iguala a 0 y se estudia su signo en los intervalos obetenidos:

La segunda derivada se anula para   x = 0   y   2x² + 24 = 0

La segunda ecuación no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada solamente se anula para   x = 0 .

Por lo tanto tenemos que estudiar los siguientes intervalos de discontinuidad incluyendo el valor que anula a la segunda derivada:    (-∞, -2) ,    (-2, 0) ,    (0, 2) ,    (2, +∞)

Punto de inflexión

Por el apartado anterior sabemos que el punto que anula a la derivada segunda es   x = 0   y   vamos a determinar a través de la tercera derivada si se trata de un punto de inflexión.

Por lo tanto   x = 0   es la abscisa del punto de inflexión   ⇒   f(0) = 0   ⇒   Punto inflexión (0, 0)