INICIOEjercicios resueltos de progresiones geométricas.
1) Encuentra cuales de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas :
a) 6 , 12 , 36 , 72 , 216 , 532 , ...
b)
c)
d)
2) Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas :
a) a9 , a12 y a15 en 2, 4, 8, ...
b) a5 , a7 y a10 en 1, 3, 9, ...
c) a4 , a6 y a8 en
3) Determina los seis primeros términos de una progresión geométrica si los dos primeros términos son 2 y 5 .
4) El quinto término de una progresión geométrica es 9 y su razón es 3. Calcula el valor del primer término.
5) El tercer término de una progresión geométrica es 12 y el sexto término es 96. Calcula la expresión del término general de dicha progresión.
6) Determinar la expresión del término general de una progresión geométrica cuyo cuarto término es 1 y el séptimo término es 64 .
7) Dada la progresión geométrica cuyo término general es an = 81 ·
, calcula la suma de los 10 primeros términos.
8) Halla la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y la razón es 5.
9) Halla las sumas ilimitadas de las siguientes progresiones geométricas :
a)
b)
10) Halla el producto de los siete primeros términos de la progresión geométrica 3, 9, 27, 81, 243, ...
11) Interpola los términos que se piden en las siguientes progresiones geométricas :
a) Cinco términos entre 3 y 192.
b) Tres términos entre 32 y 2.
1) Encuentra cuales de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas :
a) 6 , 12 , 36 , 72 , 216 , 532 , ...
b)
c)
d)
a)
12 : 6 ≠ 36 : 12 → NO es una progresión geoétrica.
b)
→ SÍ es una progresión geométrica.
c)
8 : 4 ≠ 12 : 8 → NO es una progresión geométrica.
d)
9 : 15 = 
→ SÍ es una progresión geométrica.
2) Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones geométricas :
a) a9 , a12 y a15 en 2, 4, 8, ...
b) a5 , a7 y a10 en 1, 3, 9, ...
c) a4 , a6 y a8 en
El término general de una progresión aritmética viene dado por an = a1 · r n - 1 .
En cada uno de los casos identificaremos a1 y la razón de cada progresión, para calcular así los términos que nos piden en el enunciado.
a)
a1 = 2 ; r = 2 → an = a1 · r n - 1 → an = 2 · 2 n - 1
a9 = 2 · 2 9 - 1 = 2 · 2 8 = 2 9 = 512
a12 = 2 · 2 12 - 1 = 2 · 2 11 = 2 12 = 4096
a15 = 2 · 2 15 - 1 = 2 · 2 14 = 2 15 = 32768
b)
a1 = 1 ; r = 3 → an = a1 · r n - 1 → an = 1 · 3 n - 1
a5 = 1 · 3 5 - 1 = 3 4 = 81
a7 = 1 · 3 7 - 1 = 3 6 = 729
a10 = 1 · 3 10 - 1 = 3 9 = 19683
c)
a1 = 
; r = 10 → an = a1 · r n - 1 → an = 
· 10 n - 1
a4 = 
· 10 4 - 1 = · 10 3 = 
a6 = · 10 6 - 1 = · 10 5 = 10
a8 = · 10 8 - 1 = · 10 7 = 1000
3) Determina los seis primeros términos de una progresión geométrica si los dos primeros términos son 2 y 5 .
Tenemos que a1 = 2 y a2 = 5 por lo que la razón de la progresión geométrica es r = 
La progresión geométrica que nos queda es :
2 , 5 , 
4) El quinto término de una progresión geométrica es 9 y su razón es 3. Calcula el valor del primer término.
Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica tenemos que :
an = a1 · r n - 1 → 9 = a1 · 3 5 - 1 → 9 = a1 · 81 → a1 = 
5) El tercer término de una progresión geométrica es 12 y el sexto término es 96. Calcula la expresión del término general de dicha progresión.
Por los datos del enunciado tenemos que a3 = 12 y a6 = 96. A partir de estos datos tenemos que :
El término general de la progresión geométrica es : an = 3 · 2 n - 1
6) Determinar la expresión del término general de una progresión geométrica cuyo cuarto término es 1 y el séptimo término es 64 .
Del enunciado sabemos que a4 = 1 y a7 = 64.
El término general de la progresión geométrica es : 
7) Dada la progresión geométrica cuyo término general es an = 81 ·
Calculamos en primer lugar el término a10 :
a10 = 81 · 
= 81 · 
= 
Aplicamos ahora la suma de los n términos de una progresión geométrica :
8) Halla la suma de los ocho primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1 y la razón es 5.
Calculamos en primer lugar a8 :
an = a1 · r n - 1 = 1 · 5 8 - 1 = 5 7 = 78125
Aplicamos ahora la expresión de la suma de la progresión geométrica :
9) Halla las sumas ilimitadas de las siguientes progresiones geométricas :
a)
b)
a)
En primer lugar comprobamos que la razón de la progresión geométrica cumpla que | r | < 1.
En este caso, 
por lo que sí podemos calcular la suma ilimitada.
b)
Tenemos una progresión geométrica cuya razón es 
. Como - 1 < r < 0 decimos que es una función oscilante. Su suma ilimitada sería :
10) Halla el producto de los siete primeros términos de la progresión geométrica 3, 9, 27, 81, 243, ...
Calculamos en primer lugar el término a7 y aplicamos la fórmula para calcular el producto de los siete primeros términos.
a7 = a1 · r n - 1 = 3 · 3 6 = 3 7 = 2187
11) Interpola los términos que se piden en las siguientes progresiones geométricas :
a) Cinco términos entre 3 y 192.
b) Tres términos entre 32 y 2.
a)
Calculamos en primer lugar la razón de la progresión geométrica.
Tomamos para ello a = 3 y b = 192, siendo k = 5 ( número de términos que tenemos que interpolar ).
El valor de la razón de la progresión geométrica también podemos obtenerlo de la expresión general, tomando a1 = 3 y a7 = 192 :
an = a1 · r n - 1 → 192 = 3 · r 7 - 1 → r 6 = 64 → r = 2.
Los términos interpolados de la progresión geométrica son : 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192
b)
Calculamos la razón de la progresión geométrica, aplicando cualquiera de los métodos anteriores.
En primer lugar podemos obtenerlo de la expresión general, siendo a1 = 32 y a5 = 2 :
an = a1 · r n - 1 → 2 = 32 · r 5 - 1 → 
→ 
→ 
También podemos obtenerlo tomando a = 32, b = 3 y k = 3.
Los términos interpolados de la progresión geométrica son : 32, 16, 8, 4, 2.