INICIOProblemas resueltos de progresiones geométricas.
1) Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su sma es 52 y su producto es 1728 .
2) ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 5 , el último es 1215 y la suma de ellos es 1820 ?
3) Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es ocho veces el menor.
4) Divide al número 78 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término es nueve veces el primero.
5) Calcula la fracción generatriz del siguiente número decimal periódico puro : 0,2323232323...
6) Calcula la fracción generatriz del siguiente número decimal periódico mixto : 7,1666666...
7) Una progresión geométrica tiene seis términos. La razón es la tercera parte del primer término, y la suma de los dos primeros términos es igual a 36. Calcula los términos de dicha progresión geométrica.
8) A una cuerda de 800 metros se le dan tres cortes de modo que uno de los trozos extremo tiene una longitud de 20 metros. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo.
9) Si en la figura, el radio de cada círculo es la mitad que el del anterior, calcula :
a) El área del círculo que ocupa el cuarto lugar.
b) La suma de las áreas de los ocho primeros círculos de la sucesión.
10) Observa los diferentes cuadrados que hay en esta figura. Se han obtenido uniendo los puntos medios de dos lados contiguos :
a) Halla las áreas de los cinco primeros cuadrados de esta sucesión. ¿Cuál será su término general?
b) Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados.
c) Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados generados de esa forma.
1) Halla tres números en progresión geométrica sabiendo que su sma es 52 y su producto es 1728 .
Sean los números 
a y a · r :
Para r = 3 los números son : 4 , 12 , 36 .
Para r = 
los números son : 36 , 12 , 4
2) ¿Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica sabiendo que el primer término es 5 , el último es 1215 y la suma de ellos es 1820 ?
De los datos del enunciado deducimos que :
Se han tomado seis términos.
3) Halla los ángulos de un cuadrilátero, si se sabe que están en progresión geométrica y que el mayor es ocho veces el menor.
Sean 
, a , a · r y a · r 2 los ángulos del cuadrilátero.
Los ángulos del cuadrilátero son : 24º , 48º , 96º , 192º
4) Divide al número 78 en tres partes enteras que forman una progresión geométrica tal que el tercer término es nueve veces el primero.
Sean , a y a · r las tres partes enteras.
Las tres partes enteras son : 6 , 18 , 54 .
5) Calcula la fracción generatriz del siguiente número decimal periódico puro : 0,2323232323...
Sea N = 0,23232323... Podemos escribirlo de la siguiente forma :
Se trata de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con a1 = 
y r = 
. Como | r | < 1 podemos aplicar la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica :
La fracción generatriz es : N = 
6) Calcula la fracción generatriz del siguiente número decimal periódico mixto : 7,1666666...
Sea N = 7,16666.. Podemos escribirlo de la siguiente manera :
Tenemos por tanto que N es 7,1 más la suma infinita de términos de una progresión geométrica, cuyo a1 = 
y r = 
. Como | r | < 1 podemos aplicar la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica :
La función generatriz es : 
7) Una progresión geométrica tiene seis términos. La razón es la tercera parte del primer término, y la suma de los dos primeros términos es igual a 36. Calcula los términos de dicha progresión geométrica.
Sea a el primer término de la progresión. Del enunciado tenemos que :
- Para r = 3 → a = 3 · 3 = 9
Los términos de la progresión son : 9 , 27 , 81 , 243 , 729 , 2187. - Para r = - 4 → a = 3 · ( - 4 ) = - 12
Los términos de la progresión son : - 12 , 48 , -192 , 768 , - 3072 , 12288 .
8) A una cuerda de 800 metros se le dan tres cortes de modo que uno de los trozos extremo tiene una longitud de 20 metros. Sabiendo que las longitudes de los trozos están en progresión geométrica, determina la longitud de cada trozo.
Llamaremos , a , a · r y a · r2 a las longitudes de los trozos de la cuerda, de modo que es un extremo de dicha cuerda.
Las longitudes de los trozos de la cuerda son : 20 , 60 , 180 , 540 .
9) Si en la figura, el radio de cada círculo es la mitad que el del anterior, calcula :
a) El área del círculo que ocupa el cuarto lugar.
b) La suma de las áreas de los ocho primeros círculos de la sucesión.
a)
La sucesión de los círculos es una progresión geométrica de razón 
. El área del primer círculo, es decir de a1 , es π · 2 2 = 4 · π . Luego a1 = 4 · π
El área del cuarto círculo es :
a4 = a1 · r n - 1 → a4 = 4 · π · 
→ 
b)
La sucesión formada por la suma de las áreas de los círculos es una progresión geométrica de razón 
Calculamos primero a8 y posteriormente la suma pedida en el enunciado.
a8 = 4 · π · 
10) Observa los diferentes cuadrados que hay en esta figura. Se han obtenido uniendo los puntos medios de dos lados contiguos :
a) Halla las áreas de los cinco primeros cuadrados de esta sucesión. ¿Cuál será su término general?
b) Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados.
c) Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados generados de esa forma.
Observando el dibujo apreciamos que el área de cada cuadrado es la mitad del área del cuadrado anterior. Por lo tanto, la sucesión de las áreas es :
a1 = 256 cm2 , a2 = 128 cm2 , a3 = 64 cm2 , a4 = 32 cm2, a5 = 16 cm2 , ...
Las áreas forman una progresión geométrica cuya razón es r = 
. El término general es :
an = a1 · r n - 1 → an = 256 · 
b)
El lado del cuadrado es igual a la raíz cuadrada de su área, por lo que la sucesión de las longitudes de los lados es la siguiente :
c)
Como a1 = 256 y r = < 1 , la suma de las áreas de los infinitos cuadrados es :
