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Ejercicios resueltos de progresiones aritméticas.

1)     Encuentra el término general de las siguientes progresiones aritméticas :
a)    3,  7,  11,  15,  ...
b)   
c)    24,  16,  8,  0,  ...
d)   

2)     Escribe los cinco primeros términos y   a15   de las siguientes progresiones aritméticas :
a)    a1 = 3,2   y   d = 3
b)    a1 = 7   y   d = - 5
c)    a1 =   y   r =
d)    a1 = - 11   y   r = 6

3)    Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones aritméticas :
a)    a10,  a12  y  a20   en    2, 5, 8, 11, ...
b)    a8,  a11  y  a15     en     9, 11, 13, 15, ...
c)    a7,  a30  y  a50     en     -20, -15, -10, ...

4)    Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que   a5 = 19   y   a11 = 43.

5)    Sabiendo que   a5 = -1   y   a9 = 1,   calcular el término general de dicha progresión geométrica.

6)    El primer término de una progresión aritmética es  11  y la diferencia es  - 4.  ¿Qué lugar ocupa el número  - 45 ? ¿Y el  - 17 ?

7)    Dada la progresión aritmética de término general     calcula la suma de los 20 primeros términos.

8)    Calcula la suma de los términos  a8  hasta  a32  de una progresión aritmética sabiendo que el término general es   an = - 10 + (n - 1 ) · 2.

9)    Calcula la suma de los  25  primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que  a4 = 7  y  a10 = 25.

10)    Dada una progresión aritmética, interpola los términos que se piden :
a)    Cinco términos entre el  4  y el  34.
b)    Cuatro términos entre el  - 3  y el  32.

1)     Encuentra el término general de las siguientes progresiones aritméticas :
a)    3, 7, 11, 15, ...
b)   
c)    24, 16, 8, 0, ...
d)   


a)
a1  =  3   y   d  =  4     →     an  =  a1  +  ( n  -  1 )  ·  d     →     a =  3  +  ( n  -  1 )  ·  4    →     an  =  4  ·  n  -  1

b)
a1  =    y   r  =      →     an  =  a1  +  ( n  -  1 )  ·  r     →     an  =   +  ( n  -  1 )  ·      →     an  =     ·  n

c)
a1  =  24   y   r  =  - 8     →     an  =  a +  ( n  -  1 )  ·  r     →     an  =  24  +  ( n  -  1 )  ·  ( - 8 )     →     an  =  32  -  8  ·  n

d)
a1  =    y   r  =      →     an  =  a1  +  ( n  -  1 )  ·  r     →    a=    +  ( n  -  1 )  ·      →     a

2)     Escribe los cinco primeros términos y   a15   de las siguientes progresiones aritméticas :
a)    a1 = 3,2   y   d = 3
b)    a1 = 7   y   d = - 5
c)    a1 =   y   r =
d)    a1 = - 11   y   r = 6


a)
a2  =  6,2  ;   a =  9,2  ;   a =  12,2  ;   a =  15,2  
a =  a +  ( n  -  1 )  ·  d    →    a15  =  3,2  +  ( 15  -  1 )  ·  3    →    a15  =  45,2

b)
a2  =  2  ;   a3  =  - 3  ;   a =  - 8  ;   a =  - 13
a =  a +  ( n  -  1 )  ·  d    →    a15  =  7  +  ( 15  -  1 )  ·  ( - 5 )    →    a15  =  - 63

c)
a2  =  1  ;   a3  =    ;   a =  0  ;   a
an  =  a +  ( n  -  1 )  ·  d    →    a15  =   +  ( 15  -  1 )  ·     →    a15 

d)
a2  =  5    ; a =  11  ;   a =  17  ;   a =  23
an  =  a +  ( n  -  1 )  ·  d    →    a15  =  - 11  +  ( 15  -  1 )  ·  6    →    a15  =  73

3)    Hallar los términos que se indican en las siguientes progresiones aritméticas :
a)    a10,  a12  y  a20   en    2, 5, 8, 11, ...
b)    a8,  a11  y  a15     en     9, 11, 13, 15, ...
c)    a7,  a30  y  a50     en     -20, -15, -10, ...


Al ser progresiones artiméticas, su término general es  an  =  a1 + ( n - 1 ) · d.   Calcularemos en cada uno de los casos su término general y luego los términos que nos piden.

4)    Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que   a5 = 19   y   a11 = 43.


Al ser una progresión aritmética, el término general es   an = a1 + ( n - 1 ) · d.   Sustituyendo los datos del enunciado tenemos :



El término general de la progresión aritmética es :

an = 3 + ( n - 1 ) · 4

5)    Sabiendo que   a5 = -1   y   a9 = 1,   calcular el término general de dicha progresión geométrica.


Al ser una progresión aritmética, el término general viene determinado por   an = a1 + ( n - 1 ) · d.   Sustituyendo los datos del enunciado tenemos :



El término general de la sucesión es :

an = - 3 + ( n - 1 ) ·

6)    El primer término de una progresión aritmética es  11  y la diferencia es  - 4.  ¿Qué lugar ocupa el número  - 45 ? ¿Y el  - 17 ?


El término general de la progresión aritmética es   an = 11 + ( n - 1 ) · ( - 4 ).

7)    Dada la progresión aritmética de término general     calcula la suma de los 20 primeros términos.


8)    Calcula la suma de los términos  a8  hasta  a32  de una progresión aritmética sabiendo que el término general es   an = - 10 + (n - 1 ) · 2.


9)    Calcula la suma de los  25  primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que  a4 = 7  y  a10 = 25.


Calcularemos en primer lugar el término general de la progresión, para posteriormente determinar  a25  y la suma de los primeros  25  términos.

10)    Dada una progresión aritmética, interpola los términos que se piden :
a)    Cinco términos entre el  4  y el  34.
b)    Cuatro términos entre el  - 3  y el  32.


a)
Como tenemos que interpolar cinco términos, tomamos  a1 = 4  y  a7 = 34.
Calculamos en primer lugar  d :


an = a1 + ( n - 1 ) · d    →    34 = 4 + ( 7 - 1 ) · d    →    30 = 6 · d    →    d = 5

De forma análoga, podemos calcularlo mediante la expresión    donde   a = 4,  b = 34   y   k = 5  ( número de términos a interpolar ) :



Los términos interpolados serían :    4,  9,  14,  19,  24,  29,  34

b)
Tenemos que interpolar cuatro términos, por lo que tomamos  a1 = - 3  y  a6 = 32.
En primer lugar calculamos  d,  por cualquiera de los métodos anteriores :


an = a1 + ( n - 1 ) · d    →    32 = - 3 + ( 6 - 1 ) · d    →    35 = 5 · d    →    d = 7

O bien, tomando  a = - 3,  b = 32  y  k = 4  en la siguiente expresión :



Los términos interpolados serían :      - 3,  4,  11,  18,  25,  32.