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Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término menos el primero se obtiene sumando una cantidad constante al término anterior. Esta cantidad se llama diferencia de la progresión.

Ejemplo 1:

Determina si estas sucesiones son progresiones aritméticas:

a) 7, 11, 15, 19, 23, 27,...
b) 10, 7, 4, 1, -2, -5, ...

c) 3, 5, 8, 10, 13, 15, ...


a)   progresión aritmética


b)   progresión aritmética


c)    

Vemos por tanto que los dos primeros apartados se tratan de progresiones aritméticas mientras que el tercero no lo es.


En una progresión aritmética se cumple que:

                 a2  -  a =  a3  -  a2  =  a-  a3  =  ...  =  d

Término general de una progresión aritmética.

El término general de una progresión aritmética es :

                 an  =  a+  ( n - 1 )  ·  d

donde  a1  es el primer término y  d  la diferencia.


Para calcular un término recurrimos a términos anteriores, por eso las progresiones aritméticas son
sucesiones recurrentes.

Ejemplo 2:

Encuentra el término general de esta progresión aritmética:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...
¿Cuál es el término 12?


El primer término de la progresión aritmética es : a1 = 5
d = a2 - a1 = 8 - 5 = 3       

 an = a1+ (n - 1)·d = 5 + (n - 1 ) · 3

 a12 = 5 + (12 - 1) · 3 = 5 + 33 = 38

Suma de los  n  primeros términos de una progresión aritmética.

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética puede calcularse mediante la siguiente fórmula:

Ejemplo 3:

Calcula la suma de los  15  primeros términos de la progresión aritmética:

6, 10, 14, 20, 24, 30, ...

Ejemplo 4:

Alicia quiere comprarse una bicicleta, y para ello ahorra la primera semana  5 €  y cada una de las siguientes semanas ahorra  5 €  más que la semana anterior. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de  20  semanas?

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