Sistemas de ecuaciones no lineales

Un sistema no lineal es un sistema en el que alguna de las ecuaciones que lo forman no es lineal.

Para resolverlo suele usarse el método de sustitución, y en algunas ocasiones, el de igualación.

Aplicaciones de un sistema no lineal

Un rectángulo tiene 40 cm² de área y su diagonal es de 10 cm. Halla las dimensiones del rectángulo.

rectangulo

Sean x e y las dimensiones (base y altura) del rectángulo.

Sabemos que el área A de un rectángulo, de base x y altura y , viene dado por: A = x · y

Por tanto, nuestra primera ecuación es: 40 = xy

Por otro lado, sabemos que la diagonal de un rectángulo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, como se indica en la figura:

Por tanto, como D = 10, tenemos la ecuación: 100 = x² + y²

Las dimensiones x e y del rectángulo serán la solución del sistema de ecuaciones:

Resolvemos por sustitución despejando la incógnita x de la segunda ecuación:

Hacemos el cambio de variable z = y² : z² - 100z + 2304 = 0

Deshaciendo el cambio: z = y² ⇒ y = ±√z

sist_no_lineal_z

Calculamos los valores de la incógnita x para cada valor de y :

Como las dimensiones de un área tienen que ser positivas, la solución del problema es: y = 8 x = 6 o y = 6 x = 8

Hallar dos números tales que la diferencia de sus productos por 2 y por 3, respectivamente, sea 9, sabiendo que la diferencia de sus cuadrados es 119.

Sean x e y tales números.

La diferencia entre el producto de x por 2 y el producto de y por 3 denota a la expresión algebraica: 2x - 3y

Por tanto: 2x - 3y = 9

Por otro lado, "la diferencia de sus cuadrados" denota a la expresión: x² - y²

Por tanto: x² - y² = 119

Obtendremos los valores de x e y hallando las soluciones del sistema:

Lo resolvemos por sustitución despejando la incógnita x en la primera ecuación:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

sist_no_lineal_y2

El valor y = 79/5 no verifica el sistema, por tanto, nos quedamos con y = 5.

Calculamos el valor de x según el valor de y:

Por tanto, la solución del problema es: x = 12 y = 5