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Problemas resueltos de teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.

1)    Una multinacional elabora sus piezas en 3 factorías. El porcentaje de piezas defectuosas y el total de producción de cada factoría viene en la siguiente tabla:
  F1 F2 F3
Producción 40% 35% 25%
Defectuosas 2% 3% 1%

a)    Halla la probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa.
b)    Se encuentra una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la factoría 3?

2)    Tenemos tres urnas distintas: U1 con 5 bolas rojas y 3 azules, U2 con 3 bolas rojas y 2 azules y U3 con 2 bolas rojas y 4 azules. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola.
a)    Si la bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraida de la urna U2?
b)    Si escogemos una urna al azar y extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?

3)    Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola roja y, si sale cruz, se introduce una bola verde. El experimento se repite 3 veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola roja y otra verde?

4)    En una empresa de auditorías de ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorías. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30 % ; la segunda el 45 % ; y la tercera el 25 % restante. Se ha comprobado que el 1 % de las inspecciones que realiza la primera persona son erróneas, la segunda persona comete un 3 % de errores, y la terce, un 2 %.
a)    Halla la probabilidad de realizar una auditoría correctamente.
b)    Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?

5)    La plantilla de empleados de unos grandes almacenes está formado por 200 hombres y 300 mujeres. La cuarta parte de los hombres y la tercera parte de las mujeres sólo trabajan en el turno de mañana. Elegido uno de los empleados al azar:
a)    ¿Cuál es la probablidad de que sea hombre o solo trabaje en el turno de mañana?
b)    Sabiendo que el empleado elegido no trabaja en el turno de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

6)    Se han metido 9 bolas azules y 6 rojas en la urna  A  y 3 bolas azules y 7 rojas en la urna  B.  Se saca una bola de la urna  A  y se introduce en la  B.  
A continuación, se saca una bola de la urna  B.
a)    ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sacada sea azul?
b)    Si finalmente salió una bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que hubiéramos pasado una bola roja?

7)    En cierta población, un  20 %  de los trabajadores trabaja en la agricultura, un  25 %  en la industria y el resto en el sector servicios. Un  63 %  de los que trabajan en la agricultura son mayores de  45  años, siendo el porcentaje de mayores de  45  años un  38 %  en industria y un  44 %  en servicios.
a)    Seleccionado un trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de  45  años?
b)    Si sabemos que un trabajador es mayor de  45  años, ¿qué probabilidad hay de que proceda de la agricultura?

8)    Se sabe que el  30 %  de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el  95 %  tiene empleo. Además, de la población que no tiene estudios superiores, el  60 %  tiene empleo.
a)    Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.
b)    Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo, calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores.

9)    El  45 %  de los productos de una marca se fabrican en Portugal el  30 %  en España y el resto en Andorra. El  1,5 %  de los productos fabricados en Portugal presenta algún defecto, mientras que en España y en Andorra estos porcentajes son del  0,7 %  y  3,1  % , respectivamente.
a)    Determina la probabilidad de que un producto resulte defectuoso.
b)    Si compramos un producto y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de España?

10)    Una caja contiene tres monedas. Una moneda es normal, otra tiene dos caras y la tercera está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Las tres monedas tienen igual probabilidad de ser elegidas.
a)    Se elige al azar una moneda y se lanza al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
b)    Si lanzamos la moneda truncada dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga una cara y una cruz?

11)    En un centro de secundaria, aprueban Biología  4  de cada  5  alumnos, las Matemáticas las aprueban  2  de cada  3  alumnos y  3  de cada  5  alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, calcula la probabilidad de que :
a)    Suspenda esas tres asignaturas.
b)    Suspenda solo una de ellas.

12)    En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.
a)    Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane.
b)    Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas?

13)    Juan es el responsable del aula de infórmatica de una empresa y no se puede confiar en él, pues la probabilidad de que se olvide de hacer el mantenimiento de un ordenador en ausencia de su jefe es de  2/3.  Si juan hace el mantenimiento a un ordenador, este tiene la misma probabilidad de estropearse que de funcionar correctamente, pero si no le hace el mantenimiento, sólo hay una probabilidad de  0,25  de que funcione correctamente.
a)    ¿Cuál es la probabilidad de que un ordenador funcione correctamente a la vuelta del jefe?
b)    A su vuelta, el jefe se encuentra un ordenador averidado. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no le hiciera el mantenimiento?

14)    En una población, donde el  45 %  son hombres y el resto mujeres, se sabe que el  10 %  de los hombres y el  8 %  de las mujeres son inmigrantes.
a)    ¿Qué porcentaje de inmigrantes hay en esa población?
b)    Si se elige al azar un inmigrante de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

15)    En una mesa del comedor universitario están sentados  12  estudiantes, de los cuales  8  son de economía y  4  de ingeniería. Entre los  8  de economía, hay  4  varones y  3  entre los de ingeniería.
a)    Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
b)    Suponiendo que el estudiante elegido ha resultado ser varón, ¿de cuál de las dos titulaciones es más probable que sea?

16)    En una biblioteca hay dos estanterías con  100  libros en cada una. En la primera hay  25  libros en mal estado, y en la segunda,  20.  Un estudiante coge al azar un libro de la primera estantería y lo deja en la segunda.
¿Cuál es la probabilidad de que otro estudiante coja al azar un libro en buen estado de la segunda estantería?

17)    El  75  %  de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el  60  %  de los que utilizan el transporte y el  90  %  de los que acude andando. Calcular de forma razonada :
a)    si se slige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando.
b)    si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual.

1)    Una multinacional elabora sus piezas en 3 factorías. El porcentaje de piezas defectuosas y el total de producción de cada factoría viene en la siguiente tabla:
  F1 F2 F3
Producción 40% 35% 25%
Defectuosas 2% 3% 1%
a) Halla la probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa.
b) Se encuentra una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la factoría 3?

2)    Tenemos tres urnas distintas: U1 con 5 bolas rojas y 3 azules, U2 con 3 bolas rojas y 2 azules y U3 con 2 bolas rojas y 4 azules. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola.
a) Si la bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraida de la urna U2?
b) Si escogemos una urna al azar y extraemos una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?

a)
Sean los sucesos R = {Sacar bola roja} y A = {Sacar bola azul}. En el diagrama de árbol podemos ver las distintas probabilidades de que ocurran R o A para cada una de las 3 urnas. La probabilidad pedida es P(U2/A). Utilizando la regla de Bayes, tenemos:




b)
Sean los sucesos R = {Sacar bola roja} y A = {Sacar bola azul}. En el diagrama de árbol podemos ver las distintas probabilidades de que ocurran R o A para cada una de las 3 urnas.



3)    Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola roja y, si sale cruz, se introduce una bola verde. El experimento se repite 3 veces y, a continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola roja y otra verde?

Sean los sucesos R = { Obtener bola roja} y V = { Obtener bola verde}. En el diagrama de árbol vemos las distintas configuraciones posibles de las urnas y la probabilidad de cada una. Según el teorema de la probabilidad total:



4)    En una empresa de auditorías de ha contratado a tres personas para inspeccionar a las empresas bancarias realizando las correspondientes auditorías. La primera de ellas se encarga de efectuar el 30 % ; la segunda el 45 % ; y la tercera el 25 % restante. Se ha comprobado que el 1 % de las inspecciones que realiza la primera persona son erróneas, la segunda persona comete un 3 % de errores, y la tercera, un 2 %.
a)    Halla la probabilidad de realizar una auditoría correctamente.
b)    Al elegir una inspección correcta, ¿cuál es la probabilidad de que la haya realizado la segunda persona?



a)
Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

b)
Aplicamos el teorema de Bayes.


5)    La plantilla de empleados de unos grandes almacenes está formado por 200 hombres y 300 mujeres. La cuarta parte de los hombres y la tercera parte de las mujeres sólo trabajan en el turno de mañana. Elegido uno de los empleados al azar:
a)    ¿Cuál es la probablidad de que sea hombre o solo trabaje en el turno de mañana?
b)    Sabiendo que el empleado elegido no trabaja en el turno de mañana, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?



6)    Se han metido 9 bolas azules y 6 rojas en la urna  A  y 3 bolas azules y 7 rojas en la urna  B.  Se saca una bola de la urna  A  y se introduce en la  B.  
A continuación, se saca una bola de la urna  B.
a)    ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sacada sea azul?
b)    Si finalmente salió una bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que hubiéramos pasado una bola roja?

7)    En cierta población, un  20 %  de los trabajadores trabaja en la agricultura, un  25 %  en la industria y el resto en el sector servicios. Un  63 %  de los que trabajan en la agricultura son mayores de 45  años, siendo el porcentaje de mayores de 45  años un  38 %  en industria y un  44 %  en servicios.
a)    Seleccionado un trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de  45  años?
b)    Si sabemos que un trabajador es mayor de 45  años, ¿qué probabilidad hay de que proceda de la agricultura?



8)    Se sabe que el  30 %  de los individuos de una población tiene estudios superiores; también se sabe que, de ellos, el  95 %  tiene empleo. Además, de la población que no tiene estudios superiores, el  60 %  tiene empleo.
a)    Calcule la probabilidad de que un individuo, elegido al azar, tenga empleo.
b)    Se ha elegido un individuo aleatoriamente y tiene empleo, calcule la probabilidad de que tenga estudios superiores.

9)    El  45 %  de los productos de una marca se fabrican en Portugal el  30 %  en España y el resto en Andorra. El  1,5 %  de los productos fabricados en Portugal presenta algún defecto, mientras que en España y en Andorra estos porcentajes son del  0,7 %  y  3,1  % , respectivamente.
a)    Determina la probabilidad de que un producto resulte defectuoso.
b)    Si compramos un producto y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de España?

10)    Una caja contiene tres monedas. Una moneda es normal, otra tiene dos caras y la tercera está trucada de forma que la probabilidad de obtener cara es 1/3. Las tres monedas tienen igual probabilidad de ser elegidas.
a)    Se elige al azar una moneda y se lanza al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara?
b)    Si lanzamos la moneda truncada dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga una cara y una cruz?



11)    En un centro de secundaria, aprueban Biología  4  de cada  5  alumnos, las Matemáticas las aprueban  2  de cada  3  alumnos y  3  de cada  5  alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, calcula la probabilidad de que :
a)    Suspenda esas tres asignaturas.
b)    Suspenda solo una de ellas.

12)    En un juego consistente en lanzar dos monedas indistinguibles y equilibradas y un dado de seis caras equilibrado, un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.
a)    Calcúlese la probabilidad de que un jugador gane.
b)    Se sabe que una persona ha ganado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas?

13)    Juan es el responsable del aula de infórmatica de una empresa y no se puede confiar en él, pues la probabilidad de que se olvide de hacer el mantenimiento de un ordenador en ausencia de su jefe es de  2/3.  Si juan hace el mantenimiento a un ordenador, este tiene la misma probabilidad de estropearse que de funcionar correctamente, pero si no le hace el mantenimiento, sólo hay una probabilidad de  0,25  de que funcione correctamente.
a)    ¿Cuál es la probabilidad de que un ordenador funcione correctamente a la vuelta del jefe?
b)    A su vuelta, el jefe se encuentra un ordenador averidado. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no le hiciera el mantenimiento?

14)    En una población, donde el  45 %  son hombres y el resto mujeres, se sabe que el  10 %  de los hombres y el  8 %  de las mujeres son inmigrantes.
a)    ¿Qué porcentaje de inmigrantes hay en esa población?
b)    Si se elige al azar un inmigrante de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?



15)    En una mesa del comedor universitario están sentados  12  estudiantes, de los cuales  8  son de economía y  4  de ingeniería. Entre los  8  de economía, hay  4  varones y  3  entre los de ingeniería.
a)    Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
b)    Suponiendo que el estudiante elegido ha resultado ser varón, ¿de cuál de las dos titulaciones es más probable que sea?

16)    En una biblioteca hay dos estanterías con  100  libros en cada una. En la primera hay  25  libros en mal estado, y en la segunda,  20.  Un estudiante coge al azar un libro de la primera estantería y lo deja en la segunda.
¿Cuál es la probabilidad de que otro estudiante coja al azar un libro en buen estado de la segunda estantería?



17)    El  75  %  de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el  60  %  de los que utilizan el transporte y el  90  %  de los que acude andando. Calcular de forma razonada :
a)    si se slige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando.
b)    si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual.