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Ejercicios resueltos de raíces de números complejos en forma polar

1)   Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números complejos:

      a)   5 + 12 i                    b)   1 / (3 + 4 i)


2)   Halla las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


3)   Calcula y expresa en forma polar:


4)   Calcula y expresa en forma polar:


5)   Halla las raíces sextas de la unidad expresando el resultado en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.


6)   Halla las raíces cuartas de   81   expresando el resultado en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.


7)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.


8)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


9)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


10)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


11)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


1)   Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números complejos:

      a)   5 + 12 i                    b)   1 / (3 + 4 i)


a)   5 + 12 i

En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Como el afijo es   (5, 12)   el ángulo del número complejo está en el primer cuadrante..

A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cuadradas:





b)   1 / (3 + 4 i)

En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Como el afijo es   (3/25, -4/25)   el ángulo del número complejo está en el cuarto cuadrante..

A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cuadradas:




2)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente de un ángulo vale 0 en   0o   y   180. Como el afijo de   z   es   (1, 0)   el ángulo del número complejo es   0. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:




En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente de un ángulo vale 0 en   0o   y   180. Como el afijo de   z   es   (-1, 0)   el ángulo del número complejo es   180. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:




raices quintas forma polar


En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente de un ángulo no está definida en   90o   y   270. Como el afijo de   z   es   (0, 32)   el ángulo del número complejo es   90. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:




En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente de un ángulo no está definida en   90o   y   270. Como el afijo de   z   es   (0, -32)   el ángulo del número complejo es   270. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:




raices quintas forma polar

3)   Calcula y expresa en forma polar:


En primer lugar calculamos la forma polar del radicando:



Sabemos que la tangente de un ángulo vale   -1   en   135o   y   315.

Como el afijo es   (2, -2)   el ángulo está en el tercer cuadrante, es decir es   315.



Como el afijo es   (1, √3)   el ángulo está en el primer cuadrante, es decir es   60.



A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas del número complejo:



4)   Calcula las raíces cúbicas del siguiente número complejo y expresa el resultado en forma polar:



En primer lugar calculamos la forma polar del radicando:



Sabemos que la tangente de un ángulo vale   1   en   45o   y   225.

Como el afijo es   (2, 2)   el ángulo está en el primer cuadrante, es decir es   45.


A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas del número complejo:





En primer lugar calculamos la forma polar del radicando:



Sabemos que la tangente de un ángulo vale   1   en   45o   y   315.

Como el afijo es   (3, 3)   el ángulo está en el primer cuadrante, es decir es   45.



Como el afijo es   (-3, 3)   el ángulo está en el segundo cuadrante, es decir es   135.



A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas del número complejo:



5)   Halla las raíces sextas de la unidad expresando el resultado en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.



raíces sextas unidad forma polar

Por lo tanto, las raíces sextas de la unidad son:


6)   Halla las raíces cuartas de 81 expresando el resultado en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.



raices cuartas forma polar

Por lo tanto, las cuatro raíces de 81 son:


7)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.






raices cubicas forma polar






raices cubicas forma polar

8)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente de un ángulo es 0 en   0o   y   180. Como el afijo de   z   es   (1/32, 0)   el ángulo del número complejo es   0. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:





raices quintas forma polar

En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Como el afijo es   (√3, 1)   , es decir, está en el primer cuadrante, entonces el ángulo del número complejo es   30. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:





raices quintas forma polar

9)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente de un ángulo es 0 en   0o   y   180. Como el afijo de   z   es   (-4, 0)   el ángulo del número complejo es   180. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cuadradas de   z:






raiz cuadrada forma polar

En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Como el afijo es   (-27, 0)   entonces el ángulo del número complejo es   270. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de   z:





raices cubicas forma polar

10)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.


En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente no está definida en   90o   y   270. Como el afijo de   z   es   (0, 1)   el ángulo del número complejo es   90. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas de   z:





raices cubicas forma polar

En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:



Sabemos que la tangente no está definida en   90o   y   270. Como el afijo de   z   es   (0, 27)   el ángulo del número complejo es   90. A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas de   z:





raices cubicas forma polar

11)   Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar.