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Ejercicios resueltos de números complejos en forma polar

1 )   Expresar en forma polar los siguientes complejos:



2 )   Expresar en forma polar los siguientes complejos.



3 )   Escribir en la forma trigonométrica los siguientes números complejos.



4 )   Expresar en forma binómica y con su afijo los siguientes complejos.



5 )   Expresar en forma polar y binómica, el conjugado y el opuesto de cada uno de los siguientes complejos.




6 )   Calcula el inverso de los números complejos siguientes y represanta graficamente el resultado obtenido.



7 )   Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos.




8 )   Realizar las siguientes operaciones:




9 )   Realizar las siguientes operaciones y expresar la solución en forma binómica y con su afijo.



10 )   Calcula las potencias de los siguientes números complejos expresando el resultado en forma polar y binómica.



11 )   Calcula expresando el resultado en forma polar los siguientes potencias de complejos.



12 )   Expresa las siguientes potencias y expresa el resultado en forma polar.



13 )   Calcular las siguientes potencias en forma polar.



14 )   Dados los siguientes números complejos calcular:



15 - a )   Calcula   cos 75º y sen 75º   mediante el producto de   130º   y   145º

15 - b )   Halla las razones trigonométricas de   15º   conociendo las de   45º   y   30º   mediante el cociente   145º    y   130º


16 - a )   Calcula la cuarta potencia del número complejo    4 + 4v3    aplicando la fórmula de Moivre

16 - b )   Calcula aplicando la fórmula de Moivre:   (1 + i)20

1 )   Expresar en forma polar los siguientes complejos:






Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de  √3  son 60º y 240º.
Como el afijo de   z   es   (1, √3)    que está en el primer cuadrante, el ángulo del número complejo es   60.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de  - √3  son 120º y 300º.
Como el afijo de   z   es   (-2, 2 √3)    que está en el segundo cuadrante, el ángulo del número complejo es   120.



Sabemos que el ángulo que corresponden a la tangente de  √3  es 60º y 240º. Como el afijo de z3  está en el tercer cuadrante, el ángulo del número complejo es  240



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de  - 1  son 135º y 315º.
Como el afijo de   z   es   (1, -1)    que está en el cuarto cuadrante, el ángulo del número complejo es  315.


Cuadro resumen:


Forma binómica Módulo Cuadrante Argumento Forma polar
2 60º
4 120º
10 240º
315º

2 )   Expresar en forma polar los siguientes complejos.





Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de 1 son 45º y 225º.
Como el afijo de   z   es   (1, 1)    que está en el primer cuadrante, el ángulo del número complejo es   45.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de -1 son 135º y 315º.
Como el afijo de   z   es   (-3, 3)    que está en el segundo cuadrante, el ángulo del número complejo es   135.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de 1 son 45º y 225º.
Como el afijo de   z   es   (-2, 2)    que está en el tercer cuadrante, el ángulo del número complejo es   225.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de -1 son 135º y 315º.
Como el afijo de   z   es   (5, -5)    que está en el cuarto cuadrante, el ángulo del número complejo es   315.


Cuadro resumen:


Afijo Módulo Cuadrante Argumento Forma polar
45º
135º
225º
315º

3 )   Escribir en la forma trigonométrica los siguientes números complejos.





Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de -√0 son 0º y 180º.
Como su afijo  está en el eje negativo de la x, el ángulo del número complejo es   180.




Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de -√3 son 120º y 300º.
Como su afijo  está en el cuarto cuadrante, el ángulo del número complejo es   300.




Sabemos que los ángulos que tenemos son 90o y 180o. Elegimos 180o puesto que estamos en el eje y negativo.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de 12/5 son 67 º 22´ 48´´ y 247 º 22´ 48´´.
Como su afijo  está en el cuarto cuadrante, el ángulo del número complejo es   247 º 22´ 48´´.



4 )   Expresar en forma binómica y con su afijo los siguientes complejos.







Forma polar a b Forma trigonómetrica Forma binómica Afijo

5 )   Expresar en forma polar y binómica, el conjugado y el opuesto de cada uno de los siguientes complejos.





 

Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de - (√3 /3)  son 150º y 210º.
Como su afijo  está en el segundo cuadrante, el ángulo del número complejo es   150.



El conjugado de un número complejo es simétrico respecto del eje de abcisas.
El opuesto de un número complejo es simétrico respecto del origen.


Otro método:

El argumento de un numero complejo y el de su opuesto se diferencian en 180º.
El argumento de un numero complejo y el de su conjugado es el mismo pero de signo contrario puesto que se refleja en el eje OX.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de √3 /3  son 30º y 210º.
Como su afijo  está en el tercer cuadrante, el ángulo del número complejo es   210.



El conjugado de un número complejo es simétrico respecto del eje de abcisas.
El opuesto de un número complejo es simétrico respecto del origen.


Otro método:

El argumento de un numero complejo y el de su opuesto se diferencian en 180º.
El argumento de un numero complejo y el de su conjugado es el mismo pero de signo contrario puesto que se refleja en el eje OX.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de 1  son 45º y 225º.
Como su afijo  está en el primer cuadrante, el ángulo del número complejo es  45.



El conjugado de un número complejo es simétrico respecto del eje de abcisas.
El opuesto de un número complejo es simétrico respecto del origen.


Otro método:

El argumento de un numero complejo y el de su opuesto se diferencian en 180º.
El argumento de un numero complejo y el de su conjugado es el mismo pero de signo contrario puesto que se refleja en el eje OX.



Sabemos que los ángulos que corresponden a la tangente de - √3  son 5π/3 y 2π/3.
Como su afijo  está en el cuarto cuadrante, el ángulo del número complejo es  5π/3.


El conjugado de un número complejo es simétrico respecto del eje de abcisas.
El opuesto de un número complejo es simétrico respecto del origen.


Otro método:

El argumento de un numero complejo y el de su opuesto se diferencian en 180º.
El argumento de un numero complejo y el de su conjugado es el mismo pero de signo contrario puesto que se refleja en el eje OX.



6 )   Calcula el inverso de los números complejos siguientes y represanta graficamente el resultado obtenido.




7 )   Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos.





8 )   Realizar las siguientes operaciones:





9 )   Realizar las siguientes operaciones:




10 )   Calcula las potencias de los siguientes números complejos expresando el resultado en forma polar y binómica.




11 )   Calcula expresando el resultado en forma polar los siguientes potencias de complejos.




12 )   Expresa las siguientes potencias y expresa el resultado en forma polar.




13 )   Calcular las siguientes potencias en forma polar.




14 )   Dados los siguientes números complejos calcular:




15 - a )   Calcula   cos 75º y sen 75º   mediante el producto de   130º   y   145º




15 - b )   Halla las razones trigonométricas de   15º   conociendo las de   45º   y   30º   mediante el cociente   145º    y   130º


16 - a )   Calcula la cuarta potencia del número complejo    4 + 4v3    aplicando la fórmula de Moivre




16 - b )   Calcula aplicando la fórmula de Moivre:   (1 + i)20