Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
Dado un número complejo z = a + bi llamamos módulo de z y lo expresamos por |z| al módulo del vector que lo representa, dado por la siguiente expresión:
Por lo tanto, el módulo de un número complejo es la longitud del vector que lo representa graficamente, representado también por r .
Argumento de un número complejo
Dado un número complejo z = a + bi llamamos argumento de z y lo expresamos como arg z al ángulo que forma el vector que lo representa con el semieje positivo del eje de abscisas (OX):
Forma polar de un número complejo
Dado el número complejo z de módulo r y argumento α llamamos forma polar o módulo argumental de z a la siguiente expresión:
Entre 0o y 360o existen dos ángulos que tienen la misma tangente y que difieren en 180o . Por lo tanto, para saber el argumento del número complejo tenemos que estudiar los signos de a y b para determinar en que cuadrante está situado el afijo de dicho número complejo.
Paso de forma binómica a forma polar
Conocido un número complejo z = a + bi en forma binómica, su forma polar viene dada por:
Paso de forma polar a forma binómica
Conocido un número complejo z = rα en forma polar, su forma binómica viene dada por:
Es decir, el número complejo z puede expresarse de la siguiente manera:
Esta expresión recibe el nombre de forma trigonométrica.
Ejemplo:
Pasa a forma polar los siguientes números complejos:
√3 es la tangente de 60o y de 240o . Observando la representación gráfica de z1 o su afijo (1, √3)
vemos que está en el primer cuadrante, por lo tanto el ángulo α es 60o .
-1 es la tangente de 135o y de 315o . Observando la representación gráfica de z2 o su afijo (-2, 2)
vemos que está en el segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo α es 135o .
1 es la tangente de 45o y de 225o . Observando la representación gráfica de z3 o su afijo (-3, -3)
vemos que está en el tercer cuadrante, por lo tanto el ángulo α es 225o .
-1/2 es la tangente de 153o 25' 48'' y de 333o 25' 48''. Observando la representación gráfica de
z4 o su afijo (4, -2) vemos que está en el cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo α es 333o 25' 48'' .
Como la tangente de α no está definida, el ángulo puede ser 90o o 270o. Observando la representación gráfica de z5 o su afijo (0, -1)
vemos que está en la parte negativa del eje OY, por lo tanto el ángulo α es 270o .
0 es la tangente de 0o y de 180o . Observando la representación gráfica de z5 o su afijo (-3, 0)
vemos que está en la parte negativa del eje OX, por lo tanto el ángulo α es 180o .
Número complejo | Afijo | Forma binómica | Forma polar | Forma trigonométrica |
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