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Números complejos en forma polar

Módulo de un número complejo

Dado un número complejo   z = a + bi   llamamos módulo de   z   y lo expresamos por   |z|   al módulo del vector que lo representa, dado por la siguiente expresión:

Por lo tanto, el módulo de un número complejo es la longitud del vector que lo representa graficamente, representado también por   r . 


Argumento de un número complejo

Dado un número complejo   z = a + bi   llamamos argumento de   z   y lo expresamos como   arg z   al ángulo que forma el vector que lo representa con el semieje positivo del eje de abscisas (OX):


representacion grafica numero complejo

Forma polar de un número complejo

Dado el número complejo   z   de módulo   r   y argumento   α   llamamos forma polar o módulo argumental de   z   a la siguiente expresión:


Entre   0o   y   360o   existen dos ángulos que tienen la misma tangente y que difieren en   180.  Por lo tanto, para saber el argumento del número complejo tenemos que estudiar los signos de   a   y   b   para determinar en que cuadrante está situado el afijo de dicho número complejo.



Paso de forma binómica a forma polar

Conocido un número complejo   z = a + bi   en forma binómica, su forma polar viene dada por:


Paso de forma polar a forma binómica

Conocido un número complejo   z = rα   en forma polar, su forma binómica viene dada por:

Es decir, el número complejo   z   puede expresarse de la siguiente manera:

Esta expresión recibe el nombre de forma trigonométrica.


Ejemplo:

Pasa a forma polar los siguientes números complejos:


√3 es la tangente de   60o   y de   240. Observando la representación gráfica de   z1   o su afijo   (1, √3)   
vemos que está en el primer cuadrante, por lo tanto el ángulo   α   es   60o .


representacion grafica numero complejo primer cuadrante


-1 es la tangente de   135o   y de   315. Observando la representación gráfica de   z2   o su afijo   (-2, 2)   
vemos que está en el segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo   α   es   135o .


representacion grafica numero complejo segundo cuadrante


1 es la tangente de   45o   y de   225. Observando la representación gráfica de   z3   o su afijo   (-3, -3)   
vemos que está en el tercer cuadrante, por lo tanto el ángulo   α   es   225o .


representación número complejo tercer cuadrante


-1/2 es la tangente de  153o 25' 48''  y de   333o 25' 48''. Observando la representación gráfica de   
z4   o su afijo   (4, -2)   vemos que está en el cuarto cuadrante, por lo tanto el ángulo   α   es   333o 25' 48'' .



Como la tangente de   α   no está definida, el ángulo puede ser  90o  o   270o. Observando la representación gráfica de   z5   o su afijo   (0, -1)   
vemos que está en la parte negativa del eje OY, por lo tanto el ángulo   α   es   270o .


representación número complejo imaginario puro


0 es la tangente de   0o   y de   180. Observando la representación gráfica de   z5   o su afijo   (-3, 0)   
vemos que está en la parte negativa del eje OX, por lo tanto el ángulo   α   es   180o .


representación número real negativo


Número complejo Afijo Forma binómica Forma polar Forma trigonométrica

izquierda
         arriba
derecha