INICIOEjercicios resueltos de ecuaciones y sistemas con números complejos
1 ) Dados los números complejos z1= 2 - i y z2= 3 + 6 i determinar el número x que verifica cada una de las siguientes igualdades.
2 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
3 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones y representalas:
4 )
4-a ) Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 2 + i y 2 - i.
4-b ) Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 630º y 6-30º
4-c ) Comprueba que √2 i y 2 - i son soluciones de la ecuación x4-4x3+7x2-8x+10=0 y encuentra otras soluciones.
5 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:
6 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
7 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
8 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación y representar gráficamente:
z6 - 1 = 0
9 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación y representar gráficamente:
z4 - 81 = 0
10 ) Resuelve las siguientes ecuaciones expresando la solución en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.
11 ) Resuelve las siguientes ecuaciones y representa gráficamente:
12 ) Resuelve las siguientes ecuaciones expresando el resultado en forma binómica:
13 ) Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar y representándo gráficamente las soluciones.
14 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:
15 ) Hallar las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:
16 ) Hallar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
1 ) Dados los números complejos z1= 2 - i y z2= 3 + 6 i determinar el número x que verifica cada una de las siguientes igualdades.
2 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
3 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones y representalas:
4-a ) Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 2 + i y 2 - i.
4-b ) Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 630º y 6-30º
4-c ) Comprueba que √2 i y 2 - i son soluciones de la ecuación x4-4x3+7x2-8x+10=0 y encuentra otras soluciones.
Las otras dos soluciones son los complejos conjugados:
5 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:
Factorizamos el polinomio, por lo que quedaría:
Para que el producto de dos factores sea 0 basta que uno de ellos sea 0, por lo tanto:
Por lo tanto la ecuación tiene tres soluciones tanto en los números reales como en los números complejos.
Aplicamos la regla de Ruffini con los divisores del término independiente:
Por lo tanto la ecuación tiene una raíz real x = 4 y el polinomio se descompone de la siguiente forma:
Resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular el resto de soluciones:
Por lo tanto la ecuación tiene una raíz real y dos raíces imaginarias conjugadas:
Aplicamos la regla de Ruffini con los divisores del término independiente. Además, como los coeficientes suman 0, sabemos por el teorema del resto que es divisible entre 1:
Por lo tanto la ecuación tiene dos raíces reales: x = 1 y x = -1 y se descompone de la siguiente manera::
Resolvemos la ecuación de segundo grado para calcular el resto de soluciones:
Por lo tanto la ecuación tiene dos raíces reales y dos raíces imaginarias conjugadas:
6 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
En primer lugar realizamos el cambio de variable t = x2 :
Por lo tanto la ecuación tiene dos números reales y dos números imaginarios conjugados.
En primer lugar realizamos el cambio de variable t = x2 :
t2 + 2t + 1 = 0 ⇒ Trinomio cuadrado perfecto: (t + 1)2 = 0 ⇒ t = -1 (raíz doble)
Por lo tanto la ecuación no tiene soluciones en R, y las soluciones en C son x = i y x = - i ambas dobles.
En primer lugar realizamos el cambio de variable t = x3 :
Por tanto las seis raíces de la ecuación son:
7 ) Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones:
Por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones imaginarias.
En primer lugar realizamos el cambio de variable t = x2 :
8 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación y representar gráficamente:
z6 - 1 = 0
Resolviendo la ecuación en el conjunto de los números reales obtenemos dos soluciones:
Para obtener las seis raíces o soluciones en el conjunto de los números complejos:
Por lo tanto, las raíces sextas de la unidad son:
9 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación y representar gráficamente:
z4 - 81 = 0
Resolviendo la ecuación en el conjunto de los números reales obtenemos dos soluciones:
Para obtener las cuatro raíces o soluciones en el conjunto de los números complejos:
Por lo tanto, las cuatro raíces de la ecuación son:
10 ) Resuelve las siguientes ecuaciones expresando la solución en forma polar, binómica y trigonométrica y representa gráficamente.
11 ) Resuelve las siguientes ecuaciones y representa gráficamente:
En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:
Sabemos que la tangente no está definida en 90o y 270o . Como el afijo de z es (0, 1) el ángulo del número complejo es 90o . A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas de z:
En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:
Sabemos que la tangente no está definida en 90o y 270o . Como el afijo de z es (0, 27) el ángulo del número complejo es 90o . A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas de z:
12 ) Resuelve las siguientes ecuaciones expresando el resultado en forma binómica:
En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:
Sabemos que la tangente no está definida en 90o y 270o . Como el afijo de z es (0, -125) el ángulo del número complejo es 270o . A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cúbicas:
En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:
Sabemos que la tangente no está definida en 90o y 270o . Como el afijo de z es (0, 81) el ángulo del número complejo es 90o . A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces cuartas:
13 ) Calcula las siguientes raíces expresando el resultado en forma polar y representándo gráficamente las soluciones.
En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:
Sabemos que la tangente de un ángulo es 0 en 0o y 180o . Como el afijo de z es (1/32, 0) el ángulo del número complejo es 0o . A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de z:
En primer lugar pasamos el número complejo a forma polar:
Como el afijo es (√3, 1) , es decir, está en el primer cuadrante, entonces el ángulo del número complejo es 30o . A continuación aplicamos la fórmula para encontrar las raíces quintas de z:
14 ) Hallar las soluciones de la siguiente ecuación:
Buscamos un número complejo z = x + y i que verifique la ecuación anterior:
Para resolver el sistema, restamos ambas ecuaciones, resultando lo siguiente:
Por lo tanto una condición es que: x + y = 0 ⇒ y = - x
Sustituimos el valor de y en la primera ecuación del sistema:
Aplicamos la regla de Ruffini con los divisores del término independiente: -1 , 1 , -5 y +5
La ecuación de tercer grado es divisible por x = -1 siendo la única solución real.
Ahora sustituimos el valor de x en la segunda ecuación del sistema:
Aplicando de nuevo la regla de Ruffini se obtienen las siguientes soluciones: y = 1 (doble) y = 2
Las únicas soluciones de la parte real y la parte imaginaria que cumplen la condición x + y = 0 son:
Dividiendo la ecuación primitiva entre la solución obtenida:
15 ) Hallar las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:
Utilizamos el método de reducción, es decir, sumamos ambas ecuaciones:
Utilizamos el método de reducción, multiplicando la segunda ecuación por 3 y se la restamos a la primera:
16 ) Hallar las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:
Utilizamos el método de sustitución despejando la variable y en la segunda ecuación:
Sustituimos el valor de y en la primera ecuación:
Si restamos ambas ecuaciones obtenemos la siguiente expresión:
Utilizamos el método de sustitución en la primera ecuación:
