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Intervalos de confianza para la media poblacional

Un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica σ conocida, con un nivel de confianza 1 - α construido a partir de una muestra de tamaño n, es:

Si σ es desconocida y n es grande n ≥ 0, el intervalo de confianza viene dado por:

Donde  es la cuasivarianza muestral:

Error máximo admisible

El error máximo admisible en la estimación de la media poblacional utilizando el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza 1 - α es :

El error será igual o menor que la mitad de la amplitud del intervalo, es decir, el radio del intervalo.


Tamaño de la muestra

Despejando n de la fórmula anterior, podemos calcular el tamaño mínimo para que se cumplan las condiciones.

Ejemplo 1:

Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se les ha preguntado la cantidad de dinero que tienen en la cartera, obteniéndose una media muestral de 110 €. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20 €.

a) Obtener un intervalo de confianza, al 90%, para la cantidad de dinero en la cartera de la población.
b) ¿Cuál es el error máximo cometido con la estimación anterior?
c) Si deseamos que el error cometido, con el mismo nivel de confianza, sea la décima parte dele apartado anterior, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra?

Ejemplo 2:

En los paquetes de arroz de cierta marca pone que el peso que contienen es de 500 gramos. Una asociación de consumidores toma una muestra de 100 paquetes para los que obtiene una media de 485 g y una desviación típica de 10.

a) ¿Se puede aceptar con un nivel de significación igual a 0,05 que el fabricante está empaquetando realmente una media de 500g?
b) Calcula el intervalo de confianza al nivel del 95 % para el pes de los paquetes de la marca en cuestión.

a) Del enunciado podemos obtener los siguientes datos:

La desviación típica muestral es un dato , pero no conocemos la desviación típica poblacional σ para ello calculamos la cuasivarianza muestral:

Luego el intervalo de confianza para los paquetes viene dado por:

Como la media poblacional, 500g, no pertenece al intervalo de confianza que hemos calculado, se estima que las medias son diferentes. Luego no podemos aceptar que el fabricante esté empaquetando una media de 500 g.

b) En este caso, nuestra media tiene el valor 500g, y el intervalo pedido será:

izquierda
         arriba
derecha