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Monotonía de una función

La monotonía consiste en estudiar como aumenta o disminuye la variable dependiente   y   al aumentar o disminuir la variable independiente   x .


Crecimiento de una función

Crecimiento de una función en un intervalo

Una función   f(x)   es estrictamente creciente en un intervalo   (a, b)   si para dos valores cualesquiera del intervalo   x1   y   x2   tales que   x1 < x2 , se cumple que   f(x1) < f(x2).

Decir que   f(x1) < f(x2)   es lo mismo que :

                        estrictamente creciente

Será creciente si   f(x1) ≤ f(x2)  , es decir:

                        creciente


Una función es creciente si al aumentar la  'x' aumenta la 'y' .


Ejemplos de funciones estrictamente crecientes:

1)    f(x) = 2x


La función   f(x) = 2x   es estrictamente creciente en   R , ya que para dos puntos cualesquiera   x1   y   x2   obtenemos que:


               ejemplo creciente


2)    f(x) = x3


Es estrictamente creciente en   R , ya que para dos puntos cualesquiera   x1   y   x2   obtenemos que:


               ejemplo creciente


Observa la diferencia de los cubos.


Crecimiento de una función en un punto

Una función   f(x)   es estrictamente creciente en un punto de abscisa   x0   si existe un entorno simétrico de   x0   en el que la función es estrictamente creciente. Es decir:


               estric_creciente_pto


Una función   f(x)   es creciente en un punto de abscisa   x0   si existe un entorno simétrico de   x0   en el que la función es creciente. Es decir:


               creciente_pto


Decrecimiento de una función

Decrecimiento de una función en un intervalo

Una función   f(x)   es estrictamente decreciente en un intervalo   (a, b)   si para dos valores cualesquiera del intervalo   x1   y   x2   tales que   x1 < x2 , se cumple que   f(x1) > f(x2) .

Decir que   f(x1) > f(x2)   es lo mismo que :

                        estrictamente decreciente

Será creciente si   f(x1) ≥ f(x2)  , es decir:

                        decreciente


Una función es decreciente si al aumentar la  'x' disminuye la 'y' .


Ejemplo de función estrictamente creciente:

f(x) = 1/x


Es estrictamente decreciente en   [0 , ∞) , ya que para dos puntos cualesquiera   x1   y   x2   en dicho intervalo obtenemos que:

               ejemplo decreciente

Ya que el denominador es siempre positivo.


Es estrictamente decreciente en   [-∞ , 0] . La demostración es la misma que en el caso anterior.


Decrecimiento de una función en un punto

Una función   f(x)   es estrictamente decreciente en un punto de abscisa   x0   si existe un entorno simétrico de   x0   en el que la función es estrictamente decreciente. Es decir:


               estric_decreciente_pto


Una función   f(x)   es decreciente en un punto de abscisa   x0   si existe un entorno simétrico de   x0   en el que la función es decreciente. Es decir:


               decreciente_pto

Ejemplo de crecimiento y decrecimiento de una función

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:


            f(x) = x3 - 3x + 2



•   (-∞ , - 1):   la función es estrictamente creciente.


     Es decir, al aumentar la x, aumenta la y .


•   (- 1 , 1):   la función es estrictamente decreciente.


     Es decir, al aumentar la x, disminuye la y .


•   (1 , ∞):   la función es estrictamente creciente.


    Es decir, al aumentar la x, aumenta la y .


ejemplo_monotonía





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