Recta de regresión

Para determinar objetivamente la recta que mejor se ajuste a una distribución, se utiliza el llamado criterio de los mínimos cuadrados.
Dicho criterio nos proporciona una recta que se ajusta a la distribución de modo que la suma de los cuadrados de las diferencias entre los datos teóricos y los reales sea lo menor posible. Por tanto Σd_i² debe ser mínima. Siendo d_i= y - y_i, siendo y la ordenada de la recta e y_i la ordenada de cada punto.

• Ambas rectas pasan por el punto , llamado centro de gravedad de la distribución.
• Los valores de los coeficientes de las rectas se llaman coeficientes de regresión. Que son:

                             



• Se cumple que:     

Ejemplo 1:

Se han calculado las rectas de regresión de Y sobre X en una distribución bidimensional, obteniendo las expresiones:

x = -0,29y + 12,09
y = -3,2x + 40,96

¿Cuál es el coeficiente de Pearson de la distribución?

Posiciones relativas de las rectas de regresión

• Cuando la correlación es casi nula o muy débil r se acerca a 0 y las dos rectas forman un ángulo que se aproxima a 90º.
• Cuando la correlación es fuerte, se aproxima a 1 ó -1 y el ángulo que forman las dos rectas es pequeño.







• Si r = 1 ó r = -1 la correlación de las dos variables es lineal exacta y las dos rectas son coincidentes.









Ejemplo.

Las rectas de regresión de cuatro distribuciones bidimensionales son las siguientes :




Indica en qué casos es significativa la correlación lineal.




                              


         






El caso más significativo es el apartado  d,  donde el ángulo que forman ambas rectas de regresión es más pequeño.
También sería significativo pero en menor medida en el apartado  b,  siendo en en los apartados  a  y  c  poco significativa la recta de regresión, ya que el ángulo que forman las rectas es muy grande.