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Funciones lineales : y = mx + n

Las funciones  y = mx + n se llaman funciones lineales o afines. Las gráficas de las funciones lineales son rectas que no pasan necesariamente por el origen de coordenadas.


Ejemplo 1 :

El gasto de electricidad en una casa de vecinos es de 15 euros fijos más 0,75 euros por cada kwh ( kilovatios por hora ).

La expresión mediante la cual obtenemos el gasto en electricidad, y, en función de los kilovatios consumidos, x, es : y = 0,75 · x + 15.

Construimos la tabla de valores y representamos gráficamente la función.


x = 0     →     y = 0,75 · 0 + 15 = 15

x = 5     →     y = 0,75 · 5 + 15 = 18,75

x = 10     →     y = 0,75 · 10 + 15 = 22,5

x = 15     →     y = 0,75 · 15 + 15 = 26,22                   

x = 20     →     y = 0,75 · 20 + 15 = 30

x y
0 15
5 18,75
10 22,5
15 26,22
20 30
... ...
x 0,75 · x + 15
  

representacion grafica de una funcion lineal


Ejemplo 2 :

Una compañía de telefonía cobra  0,25  euros fijos de establecimiento de llamada y  0,05  euros por cada minuto hablado.
a)    Escribe la función que relaciona el coste de una llamada con su duración.
b)    ¿Cuánto cuesta una llamada de  12  minutos de duración?
c)    Forma la tabla de valores y representa la función.

a)
Función que relaciona el coste de la llamada según la duración de la misma es :

y = 0,05 · x + 0,25

b)
Coste de la llamada de  12  minutos :

y = 0,05 · 12 + 0,25 = 0,6 + 0,25 = 0,85 euros

c)

x = 5 → y = 0,05 · 5 + 0,25 = 0,25 + 0,25 = 0,5

x = 10 → y = 0,05 · 10 + 0,25 = 0,5 + 0,25 = 0,75       

x = 15 → y = 0,05 · 15 + 0,25 = 0,75 + 0,25 = 1

x = 20 → y = 0,05 · 20 + 0,25 = 1,25

x = 25 → y = 0,05 · 25 + 0,25 = 1,5

x y
5 0,5
10 0,75
15 1
20 1,25
25 1,5

representacion grafica funcion lineal



La  m  se denomina pendiente de la recta e indica su inclinación.

  • Si  m > 0  la función es creciente

  • Si  m < 0  la función es decreciente.

La  n  se denomina ordenada en el origen e indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas :  ( 0, n ).

Cuando n = 0 se trata de una función de proporcionalidad  y = mx.



Ejemplo 3 :

Representa las siguientes funciones :
a)    y = 2x + 3
b)    y = x + 2

a)

representacion grafica funcion lineal        

x - 2 - 1 0 1
y - 1 1 3 5

En la recta  y = 2x + 3,  por cada unidad que avanzamos en el eje  X,  subimos  2  en el eje  Y.

La pendiente de esta función es  m = 2,  y corta con el eje de ordenadas en  ( 0, 3 ).

b)

representacion grafica de una funcion lineal        

x - 1 0 1 2
y 1 2 3 4

En la recta  y = x + 2,  por cada unidad que avanzamos en el eje  X,  subimos una unidad en el eje  Y.

La pendiente de esta función es  m = 1,  y corta al eje de ordenadas en  ( 0, 2 ).



Ejemplo 4 :

Deducir la ecuación de las dos rectas representadas.

calcular ecuacion de recta por puntos dados     

Ambas son rectas, por lo que sus ecuaciones son  y = mx + n

  • Ecuación de  r :

  • Pasa por  ( 0, 1 )  por lo que  n = 1.

    Cuando avanza una unidad en el eje  X,  sube dos unidades en el eje  Y,  por lo que su pendiente es  m = 2.


    Su ecuación es :     y = 2x + 1.

  • Ecuación de  s :

  • Pasa por  ( 0, 5 )  de modo que  n = 5.

    Cuando avanza dos unidades en el eje  X,  baja tres unidades en el eje  Y,  su pendiente es  m = -3 / 2.


    La ecuación de la recta es :     y = -3 / 2 · x + 5



    Rectas paralelas.

    Dos o más rectas son paralelas si no se cortan en ningún punto.
    Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.



    ejemplo rectas paralelas representacion grafica     

    Las rectas  y = 2x + 2  e  y = 2x - 3  son paraleas, no se cortan en ningún punto y tienen la misma pendiente  m = 2.

    y = 2x + 2 y = 2x - 3
    x y x y
    - 1 0 - 1 - 5
    0 2 0 - 3
    1 4 1 - 1
    2 6 2 1


    Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.

    Las ecuaciones del tipo  y = a  son rectas paralelas al eje de abcisas.

    Las ecuaciones del tipo  x = b  son rectas paralelas al eje de ordenadas.



    rectas paralelas a los ejes de coordenadas    

    La recta  y = a  es paralela al eje  X,  pasa por los puntos  ( 0, 3),  ( 1, 3 ),  ( 2, 3 ), e tc.
    Su ecuación es
       y = 3

    La recta  x = b  es paralela al eje  Y,  pasa por los puntos  ( 4, 0),  ( 4, 1 ),  ( 4, 2 ),  etc.
    Su ecuación es
       x = 4



    Ejemplo 5 :

    Escribe una recta paralela a  y = - 2x + 5  que pase por el punto  ( 2, 4 ).

    La recta que nos piden es de la forma  y = mx + n.
    Como tienen que ser paralelas la pendiente es la misma, luego ya sabemos que  m = -2  :
      y = -2x + n.

    Al pasar por el punto  ( 2, 4 ),  tiene que cumplirse que :

    y = - 2x + n    →    4 = -2 · 2 + n    →    n = 4 + 4 = 8

    La recta que nos piden es :       y = - 2x + 8

    ejemplo recta paralela que pasa por un punto

    izquierda
             arriba
    derecha