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Problemas resueltos de funciones de proporcionalidad directa e inversa.

1)    Pedro, María, Luis y Rocío han comprado, respectivamente,  2,  4,  5  y  7  blocs de apuntes, todos ellos iguales. En total han pagado 5 8,5  euros.
a)    ¿Cuánto cuesta cada bloc?
b)    Escribe la función que relaciona el dinero que hay que pagar con el número de blocs comprados.
c)    ¿Es una función de proporcionalidad directa?
d)    ¿Cuánto hay que pagar por 12 blocs como los anteriores?
e)    Con  13  euros, ¿cuántos blocs podemos comprar?

2)    La función f asocia a cada radio,  r,  de una circunferencia el área del círculo que le corresponde.
a)    Escribe su ecuación.
b)    ¿Es una función de proporcionalidad directa.
c)    ¿Cuál es el área de un círculo de  3  centímetros de radio?
d)    ¿Cuál es el radio de un círculo de  78,5  centímetros cuadrados de superficie?

3)    Un kilogramo de pasta cuesta  1,50  euros.
a)    Haz una tabla que relacione el precio en función de los kilogramos.
b)    Averigua la expresión algebraica de la función.
c)    Representa gráficamente la función.

4)    La siguiente tabla muestra la velocidad de un coche en un momento de desaceleración.
Tiempo ( minutos ) 0 1 2 3
Velocidad ( km/h ) 110 90 70 50

a)    Representa los datos gráficamente.
b)    ¿De qué tipo de función se trata?
c)    Escribe la expresión de la función.
d)    Si el coche continúa disminuyendo la velocidad a ese ritmo, ¿en qué minuto se detendría?

5)    Entre 9 obreros realizan una obra en 3 días. Estudiar lo que ocurriría si realizasen la misma obra un número distinto de obreros.

6)    Estudia la función que relaciona la velocidad a la que circulamos y el tiempo que tardamos en recorrer una distancia de 400 km.

1)    Pedro, María, Luis y Rocío han comprado, respectivamente,  2,  4,  5  y  7  blocs de apuntes, todos ellos iguales. En total han pagado  58,5  euros.
a)    ¿Cuánto cuesta cada bloc?
b)    Escribe la función que relaciona el dinero que hay que pagar con el número de blocs comprados.
c)    ¿Es una función de proporcionalidad directa?
d)    ¿Cuánto hay que pagar por 12 blocs como los anteriores?
e)    Con  13  euros, ¿cuántos blocs podemos comprar?


a)
Para conocer el precio de un bloc basta con dividir el precio total entre la suma total de blocs que han comprado.

58,5 : 18 = 3,25 euros por bloc

b)
El dinero a pagar depende del número de blocs que compremos, luego la ecuación de la función es :

y = 3,25 · x

c)
Sí, ya que cuánto mayor sea el número de blocs que compremos, mayor será el precio a pagar. Además, la función que relacio el dinero a pagar y el número de blocs comprados tienen la forma     y = m · x

d)
Sustituimos  x = 12  en la función y obtenemos el dinero a pagar :

y = 3,25 · x    →    y = 3,25 · 12 = 39 euros

e)
Si tenemos  13  euros, en este caso hay que obtener el valor de  x  en la ecuación :

y = 3,25 · x    →    12 = 3,25 · x    →    x = 13 / 3,25 = 4 blocs

2)    La función f asocia a cada radio,  r,  de una circunferencia el área del círculo que le corresponde.
a)    Escribe su ecuación.
b)    ¿Es una función de proporcionalidad directa.
c)    ¿Cuál es el área de un círculo de  3  centímetros de radio?
d)    ¿Cuál es el radio de un círculo de  78,5  centímetros cuadrados de superficie?


a)
Llamamos x al radio del círculo. La función es :

f(x) = π · r 2 → y = π · x 2

b)
Sí, es una función de proporcionalidad directa, ya que a mayor radio del círculo, mayor será su superficie.

c)
y = π · x 2    →    y = π · 3 2    →    y = 3,14 · 9 = 28,26 centímetros cuadrados.

d)
y = π · x 2    →    78,5 = 3,14 · x 2    →    x 2 = 25    →    x = 5 centímetros

3)    Un kilogramo de pasta cuesta  1,50  euros.
a)    Haz una tabla que relacione el precio en función de los kilogramos.
b)    Averigua la expresión algebraica de la función.
c)    Representa gráficamente la función.


a)

Masa ( kg ) 1 2 3 4 ... x
Precio ( euros ) 1,50 3 4,50 6 ... 1,5 · x


b)
y = 1,50 · x      →      y  es el precio en euros  ;  x  es la masa en kilogramos.

c)

representacion grafica de una funcion

4)    La siguiente tabla muestra la velocidad de un coche en un momento de desaceleración.
Tiempo ( minutos ) 0 1 2 3
Velocidad ( km/h ) 110 90 70 50

a)    Representa los datos gráficamente.
b)    ¿De qué tipo de función se trata?
c)    Escribe la expresión de la función.
d)    Si el coche continúa disminuyendo la velocidad a ese ritmo, ¿en qué minuto se detendría?


a)

representacion grafica funcion de proporcionalidad


b)
Es una función lineal, de pendiente negativa.

c)
Corta al eje  Y  en el punto  ( 0, 110 )  por lo que su ordenada en el origen es  n = 110.  Tomamos el punto  ( 1, 90 )  por ejemplo y calculamos su pendiente.

y = m · x + n    →    90 = m · 1 + 110    →    m = - 20

La ecuación de la función es     y = - 20 · x + 110

d)
Si queremos saber en que minuto se detiene, entonces su velocidad es   y = 0

y = - 20 · x + 110    →    0 = - 20 · x + 110    →    20 · x = 110    →    x = 5,5 minutos

5)    Entre 9 obreros realizan una obra en 3 días. Estudiar lo que ocurriría si realizasen la misma obra un número distinto de obreros.


Calculamos, mediante una regla de tres inversa, lo que tardaría un único obrero. Obtendríamos así la constante de proporcionalidad.

calcular la constante de proporcionalidad

La función de proporcionalidad inversa es :       funcion de proporcionalidad inversa

Obreros Días
1 27
2 13,5
3 9
4 6,75
5 5,4
              representacion grafica funcion de proporcionalidad inversa

6)    Estudia la función que relaciona la velocidad a la que circulamos y el tiempo que tardamos en recorrer una distancia de 400 km.


En un movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es contante. La expresión de un movimiento rectilíneo uniforme es :   e = v · t   Despejando el tiempo, la expresión que obtenemos es :     Aplicado a nuestro problema tenemos que :  

Velocidad Tiempo
20 20
40 10
80 5
100 4
120 3,33
            representacion grafica funcion proporcionalidad inversa