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Problemas resueltos de representación gráfica de una función.

1)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x 1 2 3 4 5 6 7
y = x - 3              

2)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2
y = x + 5              

3)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x - 2 - 1 0 1 2
y = 3x          

4)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x - 2 - 1 0 1 2
y = x2 - 1          

5)    Determina la ecuación de la función de proporcionalidad directa que pasa por el punto ( 1, - 4 ).

6)    A partir de la gráfica siguiente, determinar la ecuación de su función de proporcionalidad.

a)

representacion grafica funcion de proporcionalidad       

b)

representacion grafica funcion de proporcionalidad

7)    Representa las siguientes funciones de proporcionalidad directa :

8)    Representa las siguientes funciones de proporcionalidad directa :

9)    Representa las siguientes funciones lineales. ¿Pertenece el punto ( 0, 1 ) a estas funciones?

10)    Representa las siguientes funciones lineales:

11)    Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y determina la pendiente de cada una de ellas. Indica si son crecientes o decrecientes.
a)    y = 2x
b)    y = - 3x
c)    

12)    Deducir la ecuación de las dos rectas representadas.

         a)
         calcular ecuacion de recta por puntos dados                  

b)
rectas paralelas a los ejes de coordenadas

13)    Indica cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad inversa. Escribe su tabla de valores y represéntalas.

14)    Representa gráficamente la función  funcion de proporcionalidad inversa .  Para ello, elabora dos tablas de valores, una con valores positivos de  x  y otra con valores negativos, y luego representa los puntos de ambas en los ejes de coordenadas.

15)    Dibuja la gráfica de la función  funcion de proporcionalidad inversa  y compárala con  funcion de proporcionalidad inversa.  ¿Qué observas?

16)    Dibuja la gráfica correspondiente a una función cuya expresión algebraica es :

1)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x 1 2 3 4 5 6 7
y = x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4

Representación gráfica de una tabla.

   



    

2)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2
y = x + 5 1 2 3 4 5 6 7

Representar gráficamente una tabla de puntos.



     

3)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x - 2 - 1 0 1 2
y = 3x - 6 - 3 0 3 6

Representación gráfica de una tabla de una función lineal.



      

 

4)    Completa la tabla y representa la gráfica resultante:


x - 2 - 1 0 1 2
y = x2 - 1 3 0 - 1 0 3

Representar por puntos una parábola.     





 

5)    Determina la ecuación de la función de proporcionalidad directa que pasa por el punto ( 1, - 4 ).


Partimos en primer lugar de que una función de proporcionalidad directa tiene la forma :

y = m · x

Sustituimos en dicha expresión las coordenadas   x  e  y   del punto por el que tienen que pasar, en este caso    x = 1  e  y = - 4 :

- 4 = m · 1

Despejando de ahí m tenemos el valor de la constante de proporcionalidad.

m = - 4

La función de proporcionalidad pedida es :

y = - 4 · x

6)    A partir de la gráfica siguiente, determinar la ecuación de su función de proporcionalidad.


a)

representacion grafica funcion de proporcionalidad   



La función es una línea recta y además pasa por el origen de coordenadas, de modo que se trata de una función de proporcionalidad directa. Su ecuación es :


     y = m · x

Como pasa por el punto ( 1, 3 ), basta con sustituir las coordenadas del punto en la expresión de la función y obtener el valor de m :

     y = m · x    →    3 = 1 · m    →    m = 3

La ecuación de la función de proporcionalidad es :

     y = 3 · x

b)

representacion grafica funcion de proporcionalidad directa    



La función, al pasar por el origen de coordenadas y ser una línea recta, sabemos que es una función de porporcionalidad directa. Su ecuación es :

      y = m · x

Pasa por el punto  ( 4, - 2),  luego al sustituir sus coordenadas en la ecuación, obtenemos el valor de m :

     y = m · x    →    - 2 = 4 · m    →    m =

La ecuaión de la función es :

     ecuacion de funcion de proporcionalidad directa representada en una grafica

7)    Representa las siguientes funciones:


a)        





x - 2 - 1 0 1 2
y = 3x - 6 - 3 0 3 6

b)

x - 2 - 1 0 1 2
y = (1/3)x - 2/3 - 1/3 0 1/3 2/3






Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 3) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.


c)Recta definida por puntos.

x - 2 - 1 0 1 2
y = -2x 4 2 0 -2 -4



     

8)    Representa las siguientes funciones:

a)Puntos representados.

x - 2 - 1 0 1 2
y = (3/4) x - 6/4 - 3/4 0 3/4 6/4


     




Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 4) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.


b)Dados los puntos hallar la recta.

x - 2 - 1 0 1 2
y = -(1/5)x 2/5 1/5 0 -1/5 -2/5






Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 5) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.


c)Tabla de puntos representados y recta que forman.

x - 2 - 1 0 1 2
y = (2/3)x - 4/3 - 2/3 0 2/3 4/3


     




Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 3) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.

9)    Representa las siguientes funciones. ¿Pertenece el punto ( 0, 1 ) a estas funciones?

a)
Representación de puntos y recta.   

x - 2 - 1 0 1 2
y = -(1/3) x + 1 5/3 4/3 1 2/3 1/3



Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 3) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.

El punto ( 0, 1 ) pertenecerá a la función si cumple su ecuación :




b)
representacion grafica recta puntos           

x - 2 - 1 0 1 2
y = -2x + 2 6 4 2 0 -2



Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 1) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.

El punto ( 0, 1 ) pertenecerá a la función si cumple su ecuación :




c)
representacion grafica recta puntos    

x - 2 - 1 0 1 2
y = -(2/3) x + 1 7/3 5/3 1 1/3 -1/3



Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 3) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.

El punto ( 0, 1 ) pertenecerá a la función si cumple su ecuación :




d)
representacion grafica recta puntos    

x - 2 - 1 0 1 2
y = -(2/5) x + 2 14/5 12/5 2 8/5 6/5



Para representar números fraccionarios hemos dividido los ejes en tantas partes como indica el denominador (en este caso 5) y hemos tomado tantas partes como indica el numerador.

El punto ( 0, 1 ) pertenecerá a la función si cumple su ecuación :


10)    Representa las siguientes funciones :


a)
representacion grafica de una funcion constante          


x - 2 - 1 0 1 2
y = - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3

x = - 2    →    y = - 3

x = - 1    →    y = - 3

x = 0    →    y = - 3

x = 1    →    y = - 3

x = 2    →    y = - 3



b)
representacion grafica de una funcion          


x - 2 - 1 0 1 2
y = - x 2 1 0 - 1 - 2

x = - 2    →    y = 2

x = - 1    →    y = 1

x = 0    →    y = 0

x = 1    →    y = - 1

x = 2    →    y = - 2



c)
representacion grafica de una funcion constante           


x = 2 2 2 2 2 2
y - 2 - 1 0 1 2

y = - 2    →    x = 2

y = - 1    →    x = 2

y = 0    →    x = 2

y = 1    →    x = 2

y = 2    →    x = 2



d)
representacion grafica de una funcion constante                      


x - 2 - 1 0 1 2
y = 5 5 5 5 5 5

x = - 2    →    y = 5

x = - 1    →    y = 5

x = 0    →    y = 5

x = 1    →    y = 5

x = 2    →    y = 5



11)    Representa gráficamente las siguientes funciones lineales y determina la pendiente de cada una de ellas. Indica si son crecientes o decrecientes.
a)    y = 2x
b)    y = - 3x
c)    


a)

x = -1    →    y = 2 · ( - 1 ) = - 2               
x = 0    →    y = 2 · ( 0 ) = 0
x = 1    →    y = 2 · 1 = 2
x= 2    →    y = 2 · 2 = 4
x y
- 1 - 2
0 0
1 2
2 4


representacion grafica de una funcion       


pendiente de una funcion     





Su pendiente es  2 = 2 / 1.
Cuando la  x  avanza una unidad, la  y  sube dos unidades.
Aumenta la x, aumenta la y, luego la función es creciente.


b)

x = - 1    →    y = - 3 · ( - 1 ) = 3             
x = 0    →    y = - 3 · 0 = 0
x = 1    →    y = - 3 · 1 = - 3
x = 2    →    y = - 3 · ( 2 ) = - 6
x y
- 1 3
0 0
1 - 3
2 - 6


representacion grafica de una funcion             

pendiente de una funcion       



Su pendiente es  - 3 = - 3 / 1.
Cuando  x  avanza una unidad, la  y  baja tres unidades.
Aumenta la x pero disminuye la y, l función es decreciente.


c)

x = 0 → y = 1 / 3 · ( 0 ) = 0                     
x = 1 → y = 1 / 3 · 1 = 1 / 3
x = 2 → y = 1 / 3 · 2 = 2 / 3
x = 3 → y = 1 / 3 · 3 = 1
x y
0 0
1 1 / 3
2 2 / 3
3 1


representacion grafica de una funcion        

pendiente de una funcion   

Su pendiente es 1 / 3 = 1 / 3.
Cuando x avanza tres unidades, la y sube una unidad.
Aumenta la x, aumenta la y, luego la función es creciente.

12)    Deducir la ecuación de las dos rectas representadas.

         a)
         calcular ecuacion de recta por puntos dados                  

b)
rectas paralelas a los ejes de coordenadas


a)

Ambas son rectas, por lo que sus ecuaciones son  y = mx + n

  • Ecuación de  r :

  • Pasa por  ( 0, 1 )  por lo que  n = 1.

    Cuando avanza una unidad en el eje  X,  sube dos unidades en el eje  Y,  por lo que su pendiente es  m = 2.


    Su ecuación es :     y = 2x + 1.

  • Ecuación de  s :

  • Pasa por  ( 0, 5 )  de modo que  n = 5.

    Cuando avanza dos unidades en el eje  X,  baja tres unidades en el eje  Y,  su pendiente es  m = -3 / 2.


    La ecuación de la recta es :     y = -3 / 2 · x + 5

    b)

    La recta  y = a  es paralela al eje  X,  pasa por los puntos  ( 0, 3),  ( 1, 3 ),  ( 2, 3 ), e tc.
    Su ecuación es
       y = 3

    La recta  x = b  es paralela al eje  Y,  pasa por los puntos  ( 4, 0),  ( 4, 1 ),  ( 4, 2 ),  etc.
    Su ecuación es
       x = 4

    13)    Indica cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad inversa. Escribe su tabla de valores y represéntalas.


    Las funciones de proporcionalidad inversa son de la forma :    x · y = k  o bien  
    En este caso, sólo los apartados  c  y  d  cumplen la condición y son, por tanto, funciones de proporcionalidad inversa.
    Es decir, al aumentar la  x  disminuye la  y  o viceversa.

    c)

    x y
    - 3 - 1
    - 1 - 3
    1 3
    3 1
            representacion grafica funcion proporcionalidad inversa

    d)

    x y
    - 5 1
    - 1 5
    1 - 5
    5 - 1
              representacion grafica funcion proporcionalidad inversa

    14)    Representa gráficamente la función  funcion de proporcionalidad inversa .  Para ello, elabora dos tablas de valores, una con valores positivos de  x  y otra con valores negativos, y luego representa los puntos de ambas en los ejes de coordenadas.







    x - 1 - 2 - 3 - 4
    y 3 1,5 1 0,75



    x 1 2 3 4
    y - 3 - 1,5 - 1 - 0,75
    representacion grafica funcion proporcionalidad inversa

    15)    Dibuja la gráfica de la función  funcion de proporcionalidad inversa  y compárala con  funcion de proporcionalidad inversa.  ¿Qué observas?


    funcion de proporcionalidad inversa

    x 0 1 2 4 5 6
    y - 1/3 - 1/2 - 1 1 1/2 1/3
    funcion de proporcionalidad inversa

    x - 3 - 2 - 1 1 2 3
    y -1 /3 - 1/2 - 1 1 1/2 1/3

    representacion grafica funciones de proporcionalidad inversa

    Podemos observar como las gráficas de ambas funciones son iguales, a excepción de una traslación de  3  unidades en el eje  X 

    16)    Dibuja la gráfica correspondiente a una función cuya expresión algebraica es :


    representacion grafica funcion definida a trozos


    La función sería discontinua en los puntos   x = 4   y   x = 8.