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Números complejos

Necesidad de ampliar los números reales

Las progresivas ampliaciones de los conjuntos numéricos han sido necesarias para resolver ecuaciones algebráicas cada vez más complicadas:


ampliacion conjuntos numericos

Ejemplos:


En algunas ocasiones, al resolver ecuaciones de segundo grado, las soluciones que obtenemos no son soluciones reales:

La unidad imaginaria

La unidad imaginaria se representa con la letra   i   y su valor es:


Ejemplos:

Número complejo en forma binómica

Se llama número complejo en forma binómica a la siguiente expresión:

•   El número   a   recibe el nombre de parte real y se representa por   a = Re(z)

•   El número   b   recibe el nombre de parte imaginaria y se representa por   b = Im(z)


Conjunto de los números complejos

El conjunto de los números complejos se define a partir del conjunto de los números reales, de la siguiente forma:



conjuntos numericos

conjuntos numericos

Ejemplos:


Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales si sus partes reales e imaginarias coinciden:


Ejemplo:

Halla   x   e   y   para que se verifique la siguiente igualdad:   x + 5 i = - 3 + y i

Para que los dos números complejos sean iguales tiene que verificarse que   x = -3   e   y = 5


Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan en los ejes cartesianos:

•   El eje OX se llama eje real

•   El eje OY se llama eje imaginario

El número complejo   z = a + b i   se representa con el punto   (a, b)   que recibe el nombre de afijo o bien mediante un vector con origen el punto   (0, 0)   y extremo   (a, b).

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real (OX), mientras que los imaginarios puros se representan sobre el eje imaginario (OY).


representacion grafica numero complejo


Ejemplos:

1)   Representa los siguientes números complejos mediante sus afijos:

- 3  ,     - 1  ,     1  ,     2  ,     4  ,     - 3 i  ,     - i  ,     2 i  ,     4 i  ,     3 + 3 i  ,     - 3 + i  ,     - 2 - 2 i  ,     1 - 2 i


afijo numero complejo


2)   Representa los siguientes números complejos mediante sus vectores:

- 3  ,     2  ,     - 3 i  ,     i  ,     3 + 3 i  ,     - 3 + i  ,     - 2 - 2 i  ,     1 - 2 i


vector numero complejo


3)   Dados los siguientes números complejos, halla sus afijos:

         arriba
derecha